Reeks van Mercator

In de wiskunde is de reeks van Mercator of de Newton-Mercatorreeks de taylorreeks voor de natuurlijke logaritme van $1+x$. Voor $-1<x\le 1$ is:

$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{4}{x}^4+\dots$

De reeks volgt eenvoudig uit de afgeleide van de natuurlijke logaritme:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\frac{1}{x}$

Geschiedenis

De reeks werd onafhankelijk van elkaar ontdekt door zowel Nikolaus Mercator, Isaac Newton en Gregorius van St-Vincent. Hij werd voor het eerst gepubliceerd door Mercator in 1668 in het traktaat Logarithmo-technica.

Alternatieve afleiding

Omdat

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\ln (1+t)=\frac{1}{1+t}=1-t+t^2-\dots +(-t{)}^{n-1}+\dots$

volgt voor de mercatorreeks

$\ln (1+x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{1+t}=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(1-t+t^2-\dots +(-t{)}^{n-1}+\dots )\mathrm{d}t$