Reed-Muller-code

Een Reed-Muller-code is een lineaire foutcorrigerende code, die gebruikt wordt bij draadloze communicatie, in het bijzonder in communicatie in de ruimte. Bovendien steunt 5G op de nauw verwante polaire codes.

Reed-Mullercodes zijn een generalisatie van Reed-Solomoncodes en Walsh-Hadamardcodes. Traditioneel gebruikt met Reed-Mullercodes als binaire codes, wat betekent dat de boodschappen en codewoorden binaire tekenreeksen zijn. De codes zijn vernoemd naar David E. Muller, een Amerikaanse wiskundige en computerwetenschapper, die de codes in 1954 ontdekte en naar Irving S. Reed, een Amerikaanse wiskundige, die het eerste efficiënte decodeeralgoritme voor de codes voorstelde.

Constructie

Er bestaan verschillende equivalente manieren om Reed-Mullercodes te beschrijven. Hier wordt gebruik gemaakt van de methode met generatormatrix. Een andere manier is via veeltermen. De generator-matrix van een Reed-Muller-code met lengte $n=2^d$wordt opgebouwd als volgt. Beschouw eerst de vectorruimte met dimensie d over het eindig lichaam ${𝔽}_2=GF(2)$. Deze vectorruimte bevat $2^d$ elementen.

${𝔽}_2^d=\{x_1,\dots ,x_{2^d}\}$

We definiëren nu in de n-dimensionale ruimte over ${𝔽}_2$ de 'indicator-vectoren':

${𝕀}_A\in {𝔽}_2^n$

op deelverzamelingen $A\subset {𝔽}_2^d$ door:

${\left({𝕀}_A\right)}_i=\{\begin{array}{cc}1& \text{ als }{x}_i\in A\\ 0& \text{ elders}\end{array}$

en we definiëren in $({𝔽}_2{)}^n$ de volgende binaire bewerking 'puntproduct':

$w\wedge z=(w_1\times z_1,\dots ,w_n\times z_n)$

${𝔽}_2^d$ is een $d$-dimensionale vectorruimte over ${𝔽}_2$, en is dus te schrijven als

$({𝔽}_2{)}^d=\{(y_1,\dots ,y_d)|y_i\in {𝔽}_2\}$

We definiëren nu de volgende vectoren ter lengte $n:v_0=(1,1,1,1,1,1,1,1)$ en

$v_i={𝕀}_{H_i}$

waarbij $H_i$ hypervlakken in $({𝔽}_2{)}^d$ zijn (van dimensie $2^d-1$):

$H_i=\{y\in ({𝔽}_2{)}^d\mid y_i=0\}$

De Reed-Muller RM(d,r)-code van de orde $r$ en lengte $n=2^d$ is de lineaire code die wordt gegenereerd door $v_0$en de puntproducten tot en met $r$ van de vectoren $v_i,1\le i\le m$.

Voorbeeld 1

Zij $d=3$. Dan is derhalve $n=8$ en

${𝔽}_2^3=\{(0,0,0),(0,0,1),\dots ,(1,1,1)\}$,

en

$\begin{array}{ccc}{v}_0& =& (1,1,1,1,1,1,1,1)\\ v_1& =& (1,0,1,0,1,0,1,0)\\ v_2& =& (1,1,0,0,1,1,0,0)\\ v_3& =& (1,1,1,1,0,0,0,0).\end{array}$

De RM(3,1)-code wordt gegenereerd door de verzameling

$\{v_0,v_1,v_2,v_3\}$

of, meer expliciet geformuleerd, door de rijen van de matrix:

$\left(\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

De dimensie van de code is 4, dus de code bestaat uit 16 codewoorden.

Voorbeeld 2

De RM(3,2)-code wordt gegenereerd door de verzameling

$\{v_0,v_1,v_2,v_3,v_1\wedge v_2,v_1\wedge v_3,v_2\wedge v_3\}$

ofwel door de volgende matrix:

$\left(\begin{array}{cccccccc}1& 1& 1& 1& 1& 1& 1& 1\\ 1& 0& 1& 0& 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

Eigenschappen

Volgende eigenschappen gelden voor Reed-Mullercodes:

1. De verzameling van alle mogelijke puntproducten tot en met $d$ van de vectoren $v_i$ vormt een basis van ${𝔽}_2^n$.
2. De RM(d,r)-code heeft dimensie $\sum _{s=0}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{d}{s})$.
3. Er geldt RM(d,r) = RM(d-1,r) | RM(d-1,r-1) waarbij '|' voor twee lineaire codes $C_2\subset C_1$ is gedefinieerd als $C_1|C_2=\{(c_1|c_1+c_2)\mid c_1\in C_1,c_2\in C_2\}$.
4. RM(d,r) heeft minimale Hammingafstand $2^{d-r}$.