Quotiëntregel

De quotiëntregel is een formule om de afgeleide van een quotiënt van twee functies te bepalen.

Neem aan dat de functie $f(x)$ geschreven kan worden als $f(x)=g(x)/h(x)$ met $h(x)\ne 0$ en dat $g$ en $h$ beide differentieerbaar zijn, dan geldt

$f^{\prime }(x)={\left(\frac{g(x)}{h(x)}\right)}^{\prime }=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{{(h(x))}^2}$

De volgende verkorte notatie is eveneens gebruikelijk:

$f^{\prime }=\left(\frac{g}{h}\right)=\frac{g^{\prime }h-g{h}^{\prime }}{h^2}$

Ook wordt wel het volgende ezelsbruggetje gebruikt:

$f^{\prime }=\frac{nat-tan}{n^2}$

Hierin staat "nat" voor "noemer keer afgeleide teller" en "tan" voor "teller keer afgeleide noemer" en "n²" voor het kwadraat van de noemer.

Bewijs

Het bewijs maakt gebruik van de productregel en van de kettingregel:

$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}=g(x)(h(x){)}^{-1}$

$f^{\prime }(x)=(g(x)(h(x){)}^{-1}{)}^{\prime }=g^{\prime }(x)(h(x){)}^{-1}+(-1)g(x)(h(x){)}^{-2}{h}^{\prime }(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{(h(x){)}^2}$

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Beschouw $f(x)=(x^2-3x)/(x-1)$. Toepassen van de quotiëntregel levert

$f^{\prime }(x)={\left(\frac{x^2-3x}{x-1}\right)}^{\prime }=\frac{(x^2-3x{)}^{\prime }(x-1)-(x^2-3x)(x-1{)}^{\prime }}{(x-1{)}^2}$

$=\frac{(2x-3)(x-1)-(x^2-3x)}{(x-1{)}^2}$

$=\frac{x^2-2x+3}{(x-1{)}^2}$

Voorbeeld 2

Beschouw $g(x)=e^{2x}/\sin (x)$. De afgeleide wordt dan

$g^{\prime }(x)={\left(\frac{e^{2x}}{\sin x}\right)}^{\prime }=\frac{{\left(e^{2x}\right)}^{\prime }\sin x-e^{2x}(\sin x{)}^{\prime }}{{\sin }^{2}x}=\frac{e^{2x}(2\sin x-\cos x)}{{\sin }^{2}x}$

Voorbeeld 3

Beschouw een functie $k(x)=\frac{g^{\prime }(x)h(x)-g(x)h^{\prime }(x)}{h(x{)}^2}$. De afgeleide wordt dan

$k^{\prime }(x)=\frac{(g^{″}h-g{h}^{″})h^2-(g^{\prime }h-g{h}^{\prime })2h{h}^{\prime }}{h^4}.$

Deze formule kan men gebruiken voor de tweede afgeleide van de functie $f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$.