Probleem van Waring

Het probleem van Waring is een probleem binnen de getaltheorie bedacht door Edward Waring. Hij vroeg zich af of er voor ieder positief geheel getal $k$ een geheel getal $s$ is, zodat ieder natuurlijk getal te schrijven is als som van $s$ $k$-de machten. Zo is ieder getal te schrijven als som van 4 kwadraten, 9 derde-machten of 19 vierde-machten.

Het getal g(k)

Voor ieder getal $k$ is $g(k)$ gedefinieerd als het kleinst mogelijke getal $s$s met de bovengenoemde eigenschap. De vier-kwadratenstelling van Lagrange zegt dat ieder getal kan worden geschreven als de som van vier kwadraten. Drie kwadraten is niet mogelijk aangezien 7 = 4+1+1+1. Zo heeft 23 negen derde-machten nodig: 23 = 8+8+1+1+1+1+1+1+1.

Euler veronderstelde dat $g(k)=2^k+[(3/2{)}^k]-2$, waarin $[x]$ het gehele deel van $x$ is (zie entierfunctie). Tegenwoordig is $g(k)$ voor de meeste getallen $k$ bekend:

$g(k)=\{\begin{array}{cc}{2}^k+[(\frac{3}{2}{)}^k]-2& \text{als }{2}^k(\frac{3}{2}{)}^k+[(\frac{3}{2}{)}^k]\le 2^k\\ 2^k+[(\frac{3}{2}{)}^k]+[(\frac{4}{3}{)}^k]-2& \text{als }{2}^k(\frac{3}{2}{)}^k+[(\frac{3}{2}{)}^k]>2^k\text{en }[(\frac{4}{3}{)}^k][(\frac{3}{2}{)}^k]+[(\frac{4}{3}{)}^k]+[(\frac{3}{2}{)}^k]=2^k\\ 2^k+[(\frac{3}{2}{)}^k]+[(\frac{4}{3}{)}^k]-3& \text{als }{2}^k(\frac{3}{2}{)}^k+[(\frac{3}{2}{)}^k]>2^k\text{en }[(\frac{4}{3}{)}^k][(\frac{3}{2}{)}^k]+[(\frac{4}{3}{)}^k]+[(\frac{3}{2}{)}^k]>2^k\end{array}$

Het getal G(k)

Belangrijker nog dan $g(k)$ is het getal $G(k)$. Dit is het getal zodat ieder voldoende groot getal kan worden geschreven als som van $s$ $k$-de machten. Dit wil zeggen dat er een getal $q$ is zodat ieder getal groter dan $q$ zo kan worden geschreven.

Ondergrens voor G(k)

Het getal $G(k)$ is groter dan of gelijk aan:

• $2^{r+2}$ als $k=2^r$ met $r\ge 2$ of $k=3\cdot 2^r$;
• $p^{r+1}$ als $p$ een priemgetal groter dan 2 is en $k=p^r(p-1)$;
• $\frac{1}{2}(p^{r+1}-1)$ als $p$ een priemgetal groter dan 2 is en $k=\frac{1}{2}{p}^r(p-1)$;
• $k+1$ voor alle getallen $k>1$.

Bovengrens voor G(k)

De volgende bovengrenzen zijn bekend voor $G(k)$:

$k$         3   5   6   7   8   9  10  11  12  13  14   15   16   17   18   19   20
$G(k)\le$    7  17  21  33  42  50  59  67  76  84  92  100  109  117  125  134  142