Partiële functie

Partiële functie $X\rightharpoonup Y$ die geen totale functie is

Partiële functie $X\rightharpoonup Y$ die wel een totale functie is

In de wiskunde wordt een functie die op een deel van een verzameling $X$ gedefinieerd is, een partiële functie op $X$ genoemd. Een partiële functie is niet noodzakelijk voor alle elementen van $X$ gedefinieerd.

Zo is het omgekeerde $1/x$ van een getal $x$ niet gedefinieerd voor 0 en dus niet voor alle gehele getallen, en daarom slechts een partiële functie op alle gehele getallen.

Definitie

Een partiële functie $f$ is een tweeplaatsige relatie tussen de verzamelingen $X$ en $Y$ die geen element van $X$ in verband brengt met meer dan één element van $Y$. Er kunnen dus elementen in $X$ zijn die niet door $f$ toegevoegd worden aan een element van $Y$.

Om aan te geven dat $f$ een partiële functie is, dus niet noodzakelijk op de hele verzameling $X$ is gedefinieerd, wordt $f$ genoteerd als:

$f:X\rightharpoonup Y$

of alternatief als

$f:X⇝Y$

$f:\subseteq X\to Y$

$f:X{\to }_{p}Y$

$f:X\rightarrowtail Y$

De deelverzameling $D\subseteq X$ van elementen die in relatie staan met een element van $Y$, wordt het domein van $f$ genoemd en de verzameling $Y$ het codomein. De verzameling $X$ wordt wel aangeduid als bron(verzameling) en $Y$ in dat verband als doel(verzameling). Als het domein $D$ gelijk is aan $X$, zodat elk element van $X$ geassocieerd is met precies één element uit het codomein, spreekt men eenvoudigweg van een functie of eventueel van een totale functie.

Voorbeelden

• de partiële functie $g:\mathbb{Z}⇝\mathbb{Z}$ op de gehele getallen gegeven door:

$g(n)=\sqrt{n}$

$g$ is niet voor alle gehele $n$ gedefinieerd, maar alleen voor kwadraten.

• Zij $R$ de verzameling van alle oneindige rijen in $ℝ$ en $g:R\rightharpoonup ℝ$ de tweeplaatsige relatie die aan een convergente rij de limiet toevoegt. $g$ is een partiële functie op $R$, omdat niet alle oneindige rijen convergeren.