Paraboolconstante

$F$ brandpunt Sjabloon:Legenda-lijnSjabloon:Legenda-lijnSjabloon:Legenda-lijnSjabloon:Legenda-lijn

De paraboolconstante is een wiskundige constante en kan met de getallen π en e worden vergeleken.

Het getal, dat verder met $P$ wordt aangeven, wordt voor een parabool gedefinieerd als de verhouding tussen de booglengte $s$ van het paraboolsegment dat wordt bepaald door het latus rectum en de parameter $p$. Deze parameter $p$ wordt de paraboolparameter genoemd en is gelijk aan de afstand van het brandpunt $F$ van de parabool tot de richtlijn. $P$ is voor alle parabolen hetzelfde, omdat alle parabolen gelijkvormig zijn.

$P=\frac{s}{p}$

Het latus rectum, uit het Latijn: latus, zijde en rectum, rectus, recht of rechtop, is in het algemeen de koorde van een kegelsnede die in het brandpunt ervan loodrecht op de symmetrie-as staat door dat brandpunt.

$P=\ln (1+\sqrt{2})+\sqrt{2}\approx 2,29558714939$

$P$ is een transcendent getal.

Toepassing

Omwenteling van $y=f(x)=e^x$ om de $x$-as

Wordt het deel van de grafiek van de functie $y=f(x)=e^x$ dat links van de $y$-as ligt, om de $x$-as gewenteld, dan kan de oppervlakte $M$ van de mantel van het omwentelingslichaam worden uitgedrukt in $P$, zoals in de figuur is aangegeven. Bij benadering is voor het deel van de mantel tussen de punten $A$ en $B$ voor kleine $\mathrm{\Delta }x$:

$\mathrm{\Delta }M=2\pi \cdot f(x)\cdot \text{booglengte}(AB)$

Zodat voor $M$ geldt:

$M=2\pi \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^x\sqrt{1+{((e^x{)}^{\prime })}^2}\mathrm{d}x=2\pi \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{0}{\int }}{e}^x\sqrt{1+e^{2x}}\mathrm{d}x$

Met de substitutie $e^x=t$, waarbij $e^x\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$, is dan:

$M=2\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\sqrt{1+t^2}\mathrm{d}t=2\pi \cdot \frac{1}{2}P=\pi P$