Oppervlakte-integraal

Opsplitsing van het oppervlak waarover wordt geïntegreerd in kleine oppervlakte-elementen

In de analyse, een deelgebied van de wiskunde, is een oppervlakte-integraal een integraal over een mogelijk gekromd oppervlak in de driedimensionale ruimte. Een oppervlakte-integraal wordt op dezelfde manier berekend als een gewone integraal. Het is het resultaat in een bepaald limietproces van de som van de bijdragen van kleine oppervlakte-elementen waarin het oppervlak is opgedeeld. Er is een verschil tussen oppervlakte-integralen van een scalair veld en van een vectorveld.

Voor een scalair veld $f$ in twee dimensies is de bijdrage in het punt $(x,y)$ het product van $f(x,y)$ en de oppervlakte van de gekozen $\mathrm{d}A$ om $(x,y)$. De integraal over een oppervlak $S$ wordt genoteerd als:

$\underset{S}{\iint }f\mathrm{d}A$

Voor het berekenen van de flux van een vectorveld $𝐟$ door een oppervlak $S$ is de bijdrage van een oppervlakte-elementje $\mathrm{d}𝐀$ in $S$ gelijk aan het inwendige product van $𝐟(x,y)$ en de normaalvector van $\mathrm{d}𝐀$. De integraal wordt genoteerd als:

$\underset{S}{\iint }𝐟\cdot \mathrm{d}𝐀$

Oppervlakte-integralen en fluxen vinden toepassing in de natuurkunde, in het bijzonder in de theorie van het elektromagnetisme.