Negatief-binomiale verdeling

In de kansrekening is de negatief-binomiale verdeling een discrete kansverdeling die de kansen geeft op de benodigde aantallen onafhankelijke pogingen met steeds kans $p$ op succes, om een vastgelegd aantal successen $m$ te behalen.

In een serie onafhankelijke bernoulli-pogingen met succeskans $p$ is bij het wachten op het eerste succes het benodigde aantal experimenten geometrisch verdeeld. Gaat men door tot men $m$ successen heeft, dan is het aantal benodigde experimenten, $N$, een stochastische variabele met als verdeling de negatief-binomiale verdeling, waarvan de kansfunctie voor $n=m,m+1,m+2,m+3,\dots$ gegeven wordt door:

$P(N=n)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{m-1})p^m(1-p{)}^{n-m}$

Eenvoudig is in te zien dat deze kans ontstaat doordat er m successen moeten zijn, elk met kans $p$, en van de $n-1$ pogingen die aan het laatste succes voorafgaan er $n-m$ mislukkingen, elk met kans $1-p$. De binomiaalcoëfficiënt geeft het aantal mogelijkheden voor de verdeling van de $m-1$ successen over de $n-1$ pogingen voorafgaand aan de laatste.

Voorbeeld

Beschouw een gewone dobbelsteen, die herhaaldelijk geworpen wordt tot voor de 10e keer "1" verschijnt. Het benodigde aantal worpen is negatief-binomiaal verdeeld met parameters $m=10$ en succeskans $p=1/6$, en waardenbereik {10, 11, 12, ...}.

Verwachtingswaarde en variantie

De verwachtingswaarde $\mathrm{E}N$ en de variantie $\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(N)$ van een negatief-binomiaal verdeelde stochastische variabele $N$ met parameters $m$ en $p$ zijn:

$\mathrm{E}(N)=\frac{m}{p}$

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(N)=m\frac{1-p}{p^2}$

Speciaal geval

De geometrische verdeling is een speciaal geval van de negatief-binomiale verdeling, met parameter m = 1.