Meetkundige reeks

Een meetkundige reeks in de wiskunde is een reeks waarvan elke term kan worden gevonden door de daaraan voorafgaande term te vermenigvuldigen met een factor $r$. De termen van de reeks vormen dus een meetkundige rij.

De algemene vorm van de $n$-de partieelsom (of $n$-de partiële som; dat is de som van de eerste $n$ termen van de reeks) is:

$\sum _{k=0}^{n-1}a{r}^k=a+ar+a{r}^2+\dots +a{r}^{n-1}=a\cdot \frac{1-r^n}{1-r}$

behalve als $r=1$ is, want dan is de som gelijk aan $a\cdot n$.

Bovenstaande relatie kan als volgt worden aangetoond.

De $n$-de partieelsom $s_n$ is:

$s_n=a+ar+a{r}^2+\dots +a{r}^{n-1}$

En dus geldt ook, door beide leden met $r$ te vermenigvuldigen:

$r\cdot s_n=ar+a{r}^2+a{r}^3+\dots +a{r}^n$

Aftrekking van de linker- en rechterleden van de laatste twee vergelijkingen geeft:

$(1-r)\cdot s_n=a\cdot (1-r^n)$

zodat:

$s_n=a\cdot \frac{1-r^n}{1-r}$

Als de gehele reeks wordt beschouwd, dus met oneindig veel termen en met $|r|<1$, dan is de reeks convergent. Gevolg:

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}a{r}^k=a+ar+a{r}^2+\dots =\frac{a}{1-r}$

Immers, indien $|r|<1$ is, dan gaat de term $r^n$ in de teller van $n$-de partieelsom naar nul als $n$ naar oneindig gaat.

Als $|r|\ge 1$ is, dan is de reeks divergent.

De formules gelden ook met complexe getallen $a$ en $r$.

Zowel het bewijs van het kenmerk van d'Alembert als van het kenmerk van Cauchy is gebaseerd op de convergentie-eigenschap van meetkundige reeksen. In beide gevallen wordt de te onderzoeken reeks vergeleken met een meetkundige reeks.