Machins formule

Machins formule is een uitdrukking voor het getal $\pi$ (pi), opgesteld in 1706 door de Britse hoogleraar sterrenkunde John Machin, waarmee hij $\pi$ in 100 decimalen berekende. De formule luidt:

$\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}$

Afleiding

Voor de tangens van de som van twee hoeken geldt:

$\tan (x+y)=\frac{\tan (x)+\tan (y)}{1-\tan (x)\tan (y)}$

Daaruit volgt:

$\arctan \frac{a}{m}+\arctan \frac{b}{n}=\arctan \frac{an+bm}{mn-ab}$,

mits

$-\frac{\pi }{2}<\arctan \frac{a}{m}+\arctan \frac{b}{n}<\frac{\pi }{2}$

Toepassing levert:

$2\arctan \frac{1}{5}=\arctan \frac{1}{5}+\arctan \frac{1}{5}=\arctan \frac{5+5}{25-1}=\arctan \frac{5}{12}$

en

$4\arctan \frac{1}{5}=\arctan \frac{5}{12}+\arctan \frac{5}{12}=\arctan \frac{60+60}{144-25}=\arctan \frac{120}{119}$,

zodat

$4\arctan \frac{1}{5}-\frac{\pi }{4}=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{1}=\arctan \frac{120}{119}+\arctan \frac{-1}{1}=$

$=\arctan \frac{120-119}{119+120}=\arctan \frac{1}{239}$

Machin gebruikte de taylorreeksontwikkeling van de arctangens, die zeer recentelijk ontwikkeld was, voor zijn berekening van $\pi$.