Liouville-getal

In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Liouville-getal een reëel getal $x$ met de eigenschap dat voor elk positief geheel getal $n$, er gehele getallen $p$ en $q$ bestaan, met $q>1$ en zodanig dat

$0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}$

In 1844 bewees Joseph Liouville dat alle Liouville-getallen transcendent zijn. Hiermee gaf hij ook het eerste bewijs van het bestaan van transcendente getallen.

Het bestaan van Liouville-getallen

De volgende constructie laat zien dat Liouville-getallen inderdaad bestaan.

Zij $b\ge 2$ een geheel getal, en $(a_1,a_2,\dots )$ een rij met voor alle $k=1,2,3,\dots ,a_k\in \{0,1,2,\dots ,b-1\}$, en zodat er oneindig veel getallen $k$ zijn waarvoor geldt dat $a_k\ne 0$. Definieer het getal $x$ door

$x=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{b^{k!}}=a_1{b}^{-1}+a_2{b}^{-2}+a_3{b}^{-6}+a_4{b}^{-24}+\dots$

In het speciale geval waarin $b=10$ en $a_k=1$ voor alle $k$, wordt de uitkomst hiervan de constante van Liouville genoemd.

Uit de definitie volgt dat de representatie van $x$ in grondtal $b$ gegeven wordt door:

$x=(0,a_1{a}_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}000\dots {)}_b$

Aangezien de representatie van $x$ in het grondtal $b$ geen repeterend gedeelte heeft, volgt hieruit dat $x$ irrationaal is. Voor elk rationaal getal $p/q$ geldt dus dat $|x-\frac{p}{q}|>0$.

Definieer nu voor elk positief geheel getal $n\ge 1,q_n$ en $p_n$ door

$q_n=b^{n!};p_n=q_n\sum _{k=1}^n\frac{a_k}{b^{k!}}$

Dan geldt:

$0<|x-\frac{p_n}{q_n}|=\sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_k}{b^{k!}}\le \sum _{k=n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b-1}{b^{k!}}<\sum _{k=(n+1)!}^{\mathrm{\infty }}\frac{b-1}{b^k}=$

$=\frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^k}=\frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\cdot \frac{b}{b-1}=\frac{b}{b^{(n+1)!}}\le \frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}}=\frac{1}{{q_n}^n}$

De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat

$n\cdot n!=n\cdot n!+n!-n!=(n+1)!-n!$

Hieruit kunnen we concluderen dat elke op deze manier geconstrueerde $x$ een Liouville-getal is.

Uit deze constructie volgt ook meteen dat de verzameling van Liouville-getallen overaftelbaar is. Neem bijvoorbeeld $b=10$, dan komt elke rij van cijfers tussen 0 en 9 waar oneindig veel cijfers niet nul zijn overeen met een uniek Liouville-getal. Met een diagonaalargument kan men dan eenvoudig laten zien dat deze deelverzameling van de Liouville-getallen overaftelbaar is, en dus ook de gehele verzameling van Liouville-getallen.

Irrationaliteit

Het blijkt dat het getal $x=c/d$, waarin $c$ en $d$ gehele getallen zijn met $d>0$, niet kan voldoen aan de ongelijkheden waardoor de Liouville-getallen gedefinieerd zijn. Aangezien elk rationaal getal op dergelijke wijze als $c/d$ geschreven kan worden, zal hieruit volgen dat geen enkel Liouville-getal rationaal is.

Iets specifieker blijkt dat als $n$ een geheel getal is waarvoor geldt dat $2^{n-1}>d$, er dan geen enkel tweetal gehele getallen $(p,q)$ met $q>1$ bestaat dat tegelijkertijd aan beide van de twee volgende ongelijkheden voldoet:

$0<|x-\frac{p}{q}|<\frac{1}{q^n}$

Stel $p$ en $q$ zijn gehele getallen met $q>1$. Dan geldt:

$|x-\frac{p}{q}|=|\frac{c}{d}-\frac{p}{q}|=\frac{|cq-dp|}{dq}$

Als $cq-dp=0$, is $|x-p/q|=0$, waardoor $(p,q)$ niet aan de eerste ongelijkheid voldoet. Als $cq-dp>0$, geldt, vanwege het feit dat $c,d,p$ en $q$ alle geheel zijn, dat $cq-dp\ge 1$. Hieruit volgt dat

$|x-\frac{p}{q}|=\frac{|cq-dp|}{dq}\ge \frac{1}{dq}$

Omdat $2^{n-1}>d$, volgt hieruit dat

$|x-\frac{p}{q}|\ge \frac{1}{dq}>\frac{1}{2^{n-1}q}\ge \frac{1}{q^n}$,

waaruit volgt dat $(p,q)$ niet aan de tweede ongelijkheid voldoet.

Hieruit concluderen we dat er als $2^{n-1}>d$, er geen tweetal $(p,q)$ bestaat dat aan beide ongelijkheden voldoet. Rationale getallen kunnen dus geen Liouville-getallen zijn; dus alle Liouville-getallen zijn irrationaal.

Transcendentie

Alle Liouville-getallen zijn transcendent. Het bewijs hiervan begint met een lemma dat een bepaalde eigenschap van irrationale algebraïsche getallen beschrijft. Deze eigenschap ontbreekt bij Liouville-getallen, en omdat Liouville-getallen irrationaal zijn, volgt hieruit dat Liouville getallen transcendent zijn.

Lemma

Zij $\alpha$ een irrationaal nulpunt van de veelterm $f$ van graad $n>0$ met gehele coëfficiënten, dan bestaat er een reëel getal $A>0$ zodanig dat voor alle gehele getallen $p$ en $q$ met $q>0$ geldt

$|\alpha -\frac{p}{q}|>\frac{A}{q^n}$

Bewijs

Zij $M$ de maximale waarde van $|f^{\prime }(x)|$ (de absolute waarde van de afgeleide van $f$) op het interval $[\alpha -1,\alpha +1]$. Laat ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m$ de verschillende nulpunten van $f$ zijn die ongelijk zijn aan $\alpha$. Kies een getal $A>0$ dat voldoet aan

$A<\min (1,\frac{1}{M},|\alpha -{\alpha }_1|,|\alpha -{\alpha }_2|,\dots ,|\alpha -{\alpha }_m|)$

Stel nu dat er gehele getallen $p$ en $q$ bestaan die het lemma tegenspreken. Dan geldt

$|\alpha -\frac{p}{q}|\le \frac{A}{q^n}\le A<\min (1,\frac{1}{M},|\alpha -{\alpha }_1|,|\alpha -{\alpha }_2|,\dots ,|\alpha -{\alpha }_m|)$

Dus $p/q$ zit in het interval $[\alpha -1,\alpha +1]$; $p/q$ is geen nulpunt van $f$ en er zijn ook geen nulpunten tussen $p/q$ en $\alpha$. Uit de middelwaardestelling volgt dat er een $x_0$ tussen $p/q$ en $\alpha$ bestaat zodat

$f(\alpha )-f(\frac{p}{q})=(\alpha -\frac{p}{q})f^{\prime }(x_0)$

Aangezien $\alpha$ een nulpunt van $f$ is, maar $p/q$ niet, is $|f^{\prime }(x_0)|>0$, en dus kunnen we de bovenstaande vergelijking als volgt herschikken:

$|\alpha -\frac{p}{q}|=\frac{|f(\alpha )-f(\frac{p}{q})|}{|f^{\prime }(x_0)|}=\frac{|f(\frac{p}{q})|}{|f^{\prime }(x_0)|}$

De polynoom $f$ is van de vorm $\sum _{i=0}^n{c}_i{x}^i$ waarin elke $c_i$ geheel is; dus $|f(p/q)|$ kan geschreven worden als

$|f(\frac{p}{q})|=\left|\sum _{i=0}^n{c}_i{p}^i{q}^{-i}\right|=\frac{1}{q^n}\left|\sum _{i=0}^n{c}_i{p}^i{q}^{n-i}\right|\ge \frac{1}{q^n}$

waarbij de laatste ongelijkheid geldt omdat $p/q$ geen nulpunt is (dus $|f(p/q)|>0$) en omdat $p$ en $q$, en alle $c_i$ geheel zijn.

Dus $|f(p/q)|\ge 1/q_n$. Omdat $f^{\prime }(x_0)\le M$ vanwege de definitie van $M$, en $1/M>A$ vanwege de definitie van $A$, volgt hieruit dat

$|\alpha -\frac{p}{q}|=\left|\frac{f(\frac{p}{q})}{f^{\prime }(x_0)}\right|\ge \frac{1}{M{q}^n}>\frac{A}{q^n}\ge |\alpha -\frac{p}{q}|$

Dit is een contradictie, dus zulke $p$ en $q$ kunnen niet bestaan, waarmee het lemma bewezen is.

Bewijs van de bewering

Zij $x$ een Liouville-getal. Dan is $x$ irrationaal, zoals eerder bewezen is. Stel $x$ is algebraïsch van graad $n$, dan bestaat er volgens het lemma een positief reëel getal $A$ zodat voor alle gehele getallen $p$ en $q$ met $q>1$ geldt dat

$|x-\frac{p}{q}|>\frac{A}{q^n}$

Zij $r$ een positief geheel getal zodanig dat $1/2^r\le A$. Stel $m=r+n$. Omdat $x$ een Liouville-getal is, bestaan er gehele getallen $a$ en $b$ met $b>1$ zodat

$|x-\frac{a}{b}|<\frac{1}{b^m}=\frac{1}{b^r{b}^n}\le \frac{1}{2^r{b}^n}\le \frac{A}{b^n}$

wat het lemma tegenspreekt. Dus elk Liouville-getal is transcendent.

Zie ook

• Constante van Liouville