Levi-civita-symbool

Visuele weergave van het Levi-Civita-symbool.

Het levi-civita-symbool is een discrete functie van drie variabelen. Deze functie wordt genoteerd als ${ϵ}_{ijk}$ en kan drie waarden aannemen: -1, 0, +1. Ze wordt als volgt gedefinieerd:

${ϵ}_{ijk}=\{\begin{array}{cc}+1& \text{als }(i,j,k)\text{ een even permutatie van }(1,2,3)\text{ is.}\\ -1& \text{als }(i,j,k)\text{ een oneven permutatie van }(1,2,3)\text{ is.}\\ 0& \text{in andere gevallen, d.i.: }i=j\text{ of }j=k\text{ of }k=i\end{array}$

Een permutatie is (on)even als het geschreven kan worden als een (on)even aantal transposities.

Deze functie is genoemd naar de Italiaanse wiskundige Tullio Levi-Civita (1873-1941).

Tensor-notatie

Er bestaat ook een tensor-notatie voor het levi-civita-symbool:

${ϵ}_{ijk}={𝐞}^i\cdot ({𝐞}^j\times {𝐞}^k)$ met ${𝐞}^i$, ${𝐞}^j$ en ${𝐞}^k$ eenheidsvectoren uit een rechtshandig coördinatensysteem.

Het levi-civita-symbool is dus te interpreteren als een antisymmetrische tensor.

Als we de componenten van ${𝐞}^i$ noteren als ${𝐞}_1^i$, ${𝐞}_2^i$ en ${𝐞}_3^i$, dan kunnen we dus ook volgende notatie gebruiken:

${ϵ}_{ijk}=\left|\begin{array}{ccc}{𝐞}_1^i& {𝐞}_2^i& {𝐞}_3^i\\ {𝐞}_1^j& {𝐞}_2^j& {𝐞}_3^j\\ {𝐞}_1^k& {𝐞}_2^k& {𝐞}_3^k\end{array}\right|$.

Verband met de kronecker-delta

Er is ook een rechtstreeks verband met de kronecker-delta dat blijkt uit volgende formules:

$\sum _{i=1}^3{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{imn}={\delta }_{jm}{\delta }_{kn}-{\delta }_{jn}{\delta }_{km}$,

$\sum _{i,j=1}^3{ϵ}_{ijk}{ϵ}_{ijn}=2{\delta }_{kn}$.

Uitbreiding naar n variabelen

De functie van drie variabelen kan probleemloos uitgebreid worden naar een functie van $n$ variabelen. Hierbij behouden we gewoon de originele definitie:

${ϵ}_{ijk\cdots }=\{\begin{array}{cc}+1& \text{als }(i,j,k,\cdots )\text{ een even permutatie van }(1,2,3,\cdots ,n)\text{ is.}\\ -1& \text{als }(i,j,k,\cdots )\text{ een oneven permutatie van }(1,2,3,\cdots ,n)\text{ is.}\\ 0& \text{in andere gevallen, d.i.: }i=j\text{ of }j=k\text{ of }k=i\text{ of }\cdots \end{array}$

Zie ook

• Antisymmetrische tensor