Laguerre-polynoom

In de wiskunde zijn de laguerre-polynomen, genoemd naar Edmond Laguerre (1834 - 1886), oplossingen van de $n$ -de differentiaalvergelijking van Laguerre:

x y^{″} + (1 - x) y^{'} + n y = 0, n = 0, 1, 2, 3 \dots

Laguerre-polynomen vinden toepassing in de kwantummechanica, in het radiële deel van de oplossing van de schrödingervergelijking voor een 1-elektron atoom.

Definitie

De $n$ -de laguerre-polynoom $L_{n} (x)$ is een polynoom van de graad $n$ die gegeven wordt door de rodriguez-formule:

L_{n} (x) = \frac{e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (x^{n} e^{- x})

Voor de zo gedefinieerde laguerre-polynomen geldt:

L_{n} (0) = 1

Fysici gebruiken vaak een definitie waarbij $n$ -de laguerre-polynoom een factor $n!$ ( $n$ faculteit) groter is.

De eerste laguerre-polynomen zijn:

Tussen de polynomen bestaan de volgende recursieve betrekkingen:

(n + 1) L_{n + 1} (x) = (2 n + 1 - x) L_{n} (x) - n L_{n - 1} (x)

en

x {L_{n}}^{'} (x) = n L_{n} (x) - n L_{n - 1} (x)

Laguerre-polynomen vormen een orthonormaal stelsel met betrekking tot het inproduct:

⟨ f, g ⟩ = \int_{0}^{\infty} f (x) g (x) e^{- x} d x

Er geldt:

⟨ L_{m}, L_{n} ⟩ = δ_{m, n}

met

δ

De laguerre-polynomen kunnen in het complexe vlak ook uitgedrukt worden als complexe kringintegraal om de oorsprong, dus als een complexe integraal:

L_{n} (x) = \frac{1}{2 π i} \oint \frac{e^{- x z / (1 - z)}}{(1 - z) z^{n + 1}} d z

De polynoom-oplossingen van de differentiaalvergelijking

x y^{″} + (α + 1 - x) y^{'} + n y = 0

worden gegeneraliseerde laguerre-polynomen genoemd.

De formule van Rodriguez voor deze polynomen is

L_{n}^{(α)} (x) = \frac{x^{- α} e^{x}}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} (e^{- x} x^{n + α})

De gewone laguerre-polynomen zijn een speciaal geval:

L_{n}^{(0)} (x) = L_{n} (x)

De eerste gegeneraliseerde laguerre-polynomen zijn:

\begin{matrix} L_{0}^{(α)} (x) & = 1 \\ L_{1}^{(α)} (x) & = - x + α + 1 \\ L_{2}^{(α)} (x) & = \frac{x^{2}}{2} - (α + 2) x + \frac{(α + 2) (α + 1)}{2} \\ L_{3}^{(α)} (x) & = \frac{- x^{3}}{6} + \frac{(α + 3) x^{2}}{2} - \frac{(α + 2) (α + 3) x}{2} + \frac{(α + 1) (α + 2) (α + 3)}{6} \end{matrix}