Lüroth-expansie

De Lüroth-expansie of Lüroth-ontwikkeling van een reëel getal $x$ uit het halfopen interval (0,1] is een rij van gehele getallen $a_1,a_2,a_3,\dots$, alle groter dan of gelijk aan 2, zodat $x$ geschreven kan worden als een reeks van de volgende vorm:

$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1(a_1-1)a_2}+\frac{1}{a_1(a_1-1)a_2(a_2-1)a_3}+\dots +\frac{1}{a_1(a_1-1)\dots a_{n-1}(a_{n-1}-1)a_n}+\dots$ [1]

Deze expansie werd in 1883 door de Duitse wiskundige Jacob Lüroth beschreven en onderzocht. Hij vond onder meer dat elk getal $x$ uit het halfopen interval (0,1] op een unieke wijze kan geschreven worden als een dergelijke reeks, en dat omgekeerd elke reeks van de vorm [1] convergeert naar een getal uit (0,1]. De $n$-de term in een Lüroth-reeks is immers kleiner dan of gelijk aan $1/2^n$ en gaat naar nul als $n$ naar oneindig gaat; dus convergeert de reeks. Er bestaat bijgevolg een een-op-eenrelatie tussen getallen uit (0,1] en rijen $a_1,a_2,a_3,\dots$ van gehele getallen groter dan of gelijk aan 2. Lüroth bewees ook dat elk rationaal getal ofwel een eindige ofwel een periodieke Lüroth-ontwikkeling heeft, en dat elk irrationaal getal een oneindige Lüroth-ontwikkeling heeft.

Voorbeeld: de Lüroth-reeks met coëfficiënten (2, 4, 6, 8, ...) convergeert naar het getal $1-\frac{1}{e}$.

Berekening

De coëfficiënten uit de reeksontwikkeling [1] kunnen met het volgende algoritme berekend worden:

• Stel $t_0=x$
• Bereken voor $n=0,1,2,\dots$
  • $a_{n+1}=\lfloor \frac{1}{t_n}\rfloor +1$ (hierin is $\lfloor x\rfloor$ de entier-functie, dit is het grootste geheel getal dat niet groter is dan $x$)
  • $t_{n+1}=a_{n+1}(a_{n+1}-1)(t_n-\frac{1}{a_{n+1}})$
• Stop wanneer $t_n$ het reciproke is van een natuurlijk getal; dan is $a_{n+1}=\frac{1}{t_n}$
• Wanneer de $a_{n+1}$ gelijk is aan $x$ is de Lüroth-ontwikkeling periodiek.

Berekeningsvoorbeeld

We berekenen de Lüroth-ontwikkeling van $x=11/18$

$t_0=11/18$

$a_1=\lfloor 18/11\rfloor +1=2$

$t_1=2\cdot 1\cdot (11/18-1/2)=4/18=2/9$

$a_2=\lfloor 9/2\rfloor +1=5$

$t_2=5\cdot 4\cdot (2/9-1/5)=20/45=4/9$

$a_3=\lfloor 9/4\rfloor +1=3$

$t_3=3\cdot 2\cdot (4/9-1/3)=6/9=2/3$

$a_4=\lfloor 3/2\rfloor +1=2$

$t_4=2\cdot 1\cdot (2/3-1/2)=2/6=1/3$

$a_5=3$

De Lüroth-ontwikkeling van 11/18 is dus {2,5,3,2,3}:

$\frac{11}{18}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 1\cdot 5}+\frac{1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3}+\frac{1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 1\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{120}+\frac{1}{480}+\frac{1}{1440}$

Referenties

• Sjabloon:Aut, "Lüroth series and their ergodic properties", Indagationes Mathematicae (Proceedings), Volume 72, Issue 1, 1969, Pages 31-42, ISSN 1385-7258, Sjabloon:Doi (http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/1385725869900237)
• Sjabloon:Aut, "Ergodic properties of generalized Lüroth series", Acta Arithmetica, vol. 74, nr. 4 (1996), blz. 311-327