Lévyproces

Een lévyproces, genaamd naar de Franse wiskundige Paul Lévy, is een continue-tijdstochastisch proces. De bekendste voorbeelden van lévyprocessen zijn de wiener- en de poissonprocessen.

Eigenschappen

Onafhankelijke aangroeiingen

Een continue tijd stochastisch proces wijst een toevalsveranderlijke $X_t$ toe aan elk punt $t\ge 0$ in de tijd. Het is dus een toevalsfunctie van $t$. De aangroeiingen van zo'n proces zijn de verschillen $X_s-X_t$ tussen de waarden van het proces op de verschillende tijdstippen $t<s$. De aangroeiingen zijn onafhankelijk als $X_s-X_t$ en $X_u-X_v$ onafhankelijke toevalsvariabelen zijn, onder de voorwaarde dat de twee tijdsintervallen elkaar niet overlappen.

Stationaire aangroeiingen

De aangroeiingen heten Stationair als de kansverdeling van de aangroeiing $X_s-X_t$ alleen afhankelijk is van de lengte $s-t$ van het tijdsinterval. Aangroeiingen over even lange tijdsintervallen zijn dus gelijkverdeeld.

In het geval van een wienerproces is $X_s-X_t$ normaal verdeeld met verwachtingswaarde 0 en variantie ${\sigma }^2$.

In het geval van een poissonproces is de kansverdeling van $X_s-X_t$ een poissonverdeling met verwachtingswaarde $\lambda (s-t)$.

Deelbaarheid

De kansverdelingen van de incrementen van een lévyproces zijn oneindig deelbaar. Er bestaat een lévyproces voor elke oneindig deelbare verdeling.

Momenten

Het $n$-de moment ${\mu }_n(t)=\mathrm{E}(X_t^n)$ van elk lévyproces met eindige momenten is een veelterm in $t$, bovendien voldoet deze functie aan de binomiale betrekking:

${\mu }_n(t+s)=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\mu }_k(t){\mu }_{n-k}(s)$