Kwantielfunctie

In de kansrekening en statistiek verstaat men onder de kwantielfunctie van een stochastische variabele $X$ de (gegeneraliseerde) inverse functie van de verdelingsfunctie van $X$, mits deze inverse functie correct gedefinieerd kan worden. De kwantielfunctie $Q$ bepaalt voor een kans $p$ het bijbehorende kwantiel $Q(p)$ dat het waardenbereik van $X$ verdeelt in de fracties $p$ kleinere en $1-p$ grotere waarden.

Is dus $F:ℝ\to [0,1]$ de verdelingsfunctie van $X$, en is $p=F(x)$ voor een zekere $x\in ℝ$, dan wordt de kwantielfunctie $Q:[0,1]\to ℝ$ gegeven door:

$Q(p)=F^{-1}(p)=x$

Het bereik van de verdelingsfunctie $F$ kan ook het open interval $(0,1)$ zijn. Het gesloten interval in bovenstaande definitie dient dan door dit open interval te worden vervangen.

Als $F$ een continue, monotoon stijgende functie is, is $F^{-1}$ de inverse functie van de verdelingsfunctie.

$F$ hoeft echter noch continu, noch monotoon stijgend te zijn. In het geval van bijvoorbeeld een discrete toevalsvariabele $X$ bevat de grafiek van de verdelingsfunctie verticale sprongen en is $F$ dus niet-continu. Een verdelingsfunctie is monotoon niet-dalend, dus kan $F$ ook op bepaalde intervallen constant zijn. In deze gevallen wordt de kwantielfunctie $Q$ als volgt gedefinieerd:

$Q(p)=\inf \{x\in ℝ:p\le F(x)\}$

Voorbeelden

De uniforme verdeling

De op $[0,1]$ uniform verdeelde toevalsvariabele $X$ heeft als verdelingsfunctie $F:ℝ\to [0,1]$ met:

$F(x)=\{\begin{array}{c}0,x\le 0\\ x,0<x\le 1\\ 1,x>1\end{array}$

De bijbehorende kwantielfunctie $Q:[0,1]\to ℝ$ wordt gegeven door: $Q(p)=p$.

De logistische verdeling

Een tweede voorbeeld is een logistisch verdeelde toevalsvariabele $X$ met parameters $\mu$ en $s^2$. De verdelingsfunctie $F:ℝ\to (0,1)$ wordt gegeven door:

$F(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tanh \left(\frac{x-\mu }{2s}\right)$

Deze verdelingsfunctie is een op $ℝ$ continue, monotoon stijgende functie, waarvan de grafiek een S-vormige kromme is, die sterk lijkt op de grafiek van de verdelingsfunctie van de normale verdeling.

De kwantielfunctie $Q:(0,1)\to ℝ$ van deze toevalsvariabele wordt gegeven door:

$Q(p)=\mu +s\ln \left(\frac{p}{1-p}\right)$