Kwadraatafsplitsen

Kwadraatsplitsen is het herschrijven van een tweedegraadspolynoom die gegeven is in de vorm

$f(x)=a{x}^2+bx+c$

tot de vorm

$f(x)=a(x+r{)}^2+s$

met

$r=\frac{b}{2a}$ en $s=c-\frac{b^2}{4a}$

De methode van kwadraatafsplitsen wordt onder meer gebruikt bij

• het oplossen van een tweedegraadsvergelijking
• het tekenen van de grafiek van een kwadratische functie
• het integreren van een functie met behulp van een lineaire transformatie van de integratievariabele

Voorbeelden

Voorbeeld 1

Los de volgende tweedegraadsvergelijking op:

$x^2+6x+5=0$

Splits een kwadraat af

$(x+3{)}^2-4=0$

of anders geschreven:

$(x+3{)}^2=4,$

met als oplossingen:

$x+3=\pm 2$

dus

$x=-5$ of $x=-1.$

Voorbeeld 2

Bepaal de integraal:

$I=\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2+2px+q}$

Splits in de noemer een kwadraat af:

$I=\int \frac{\mathrm{d}x}{(x+p{)}^2+q-p^2}$

Substitueer $y=x+p$, dus $x=y-p$ en $\mathrm{d}x=\mathrm{d}y$, en noem voor het gemak $a=q-p^2$. Dan wordt

$I=\int \frac{\mathrm{d}y}{y^2+a}$,

waardoor de integraal is teruggebracht tot een standaardintegraal met een bekende oplossing.