Kruisingsdriehoek

Gegeven twee driehoeken $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ en $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ . De kruisingsdriehoek van deze driehoeken is de driehoek met hoekpunten:

$A_{3}$ het snijpunt van lijnen $B_{1} C_{2}$ en $B_{2} C_{1}$
$B_{3}$ het snijpunt van lijnen $A_{1} C_{2}$ en $A_{2} C_{1}$
$C_{3}$ het snijpunt van lijnen $A_{1} B_{2}$ en $A_{2} B_{1}$

Met deze nieuwe driehoek is iedere driehoek de kruisingsdriehoek van de andere twee. De drie driehoeken hebben hier index 1, 2 en 3. $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ wordt in de meeste gevallen als referentiedriehoek gezien en $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ heet de kruisingsdriehoek van $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ .

Configuratie

Als $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ en $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ perspectief zijn, zijn $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ en $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ dat ook, evenals $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ en $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ .

Voor de drie perspectiviteitscentra $D_{1}$ van $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ en $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ , $D_{2}$ van $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ en $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ en $D_{3}$ van $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ en $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ geldt, dat ze op één lijn liggen. Deze lijn heet de perspectiviteitsas van de drie driehoeken.

Hierdoor vormen de viertallen punten $A_{i} B_{i} C_{i} D_{i}$ voor $i = 1, 2$ en $3$ de projectie op het platte vlak van een desmische configuratie. Om die reden worden, als $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ als referentiedriehoek wordt gezien, $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ en $△ A_{3} B_{3} C_{3}$ desmisch gekoppeld genoemd.^[1]

Gekanteld

We kunnen de kruisingsdriehoeken kantelen: ook elk van de driehoeken $△ A_{1} A_{2} A_{3}$ , $△ B_{1} B_{2} B_{3}$ en $△ C_{1} C_{2} C_{3}$ is kruisingsdriehoek van de andere twee. Bovendien als de driehoeken $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ en $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ perspectief zijn, dan is elk paar van deze drie dat ook. Met de punten

$A_{4} = A_{1} A_{2} \cap A_{2} A_{3} \cap A_{1} A_{3}$
$B_{4} = B_{1} B_{2} \cap B_{2} B_{3} \cap B_{1} B_{3}$
$C_{4} = C_{1} C_{2} \cap C_{2} C_{3} \cap C_{1} C_{3}$

op de perspectiviteitsas, krijgen we weer een desmische configuratie.

Bijzondere gevallen

Als de hoekpunten van $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ en $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ op een kegelsnede liggen, dan is volgens de stelling van Pascal hun kruisingsdriehoek ontaard.
Is $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ingeschreven in $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ , dan is hun kruisingsdriehoek $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ zelf.

Sjabloon:Appendix

↑ MathWorld. Desmic Mate

[1] MathWorld. Desmic Mate

[1]

Kruisingsdriehoek

Configuratie

Gekanteld

Bijzondere gevallen

Navigatiemenu

Zoeken