Knödel-getal

De Knödel-getallen zijn gegeven een geheel getal n de rij daarbij horende samengestelde getallen i, zodat voor alle m, met m<i, die relatief priem zijn met n de congruentie m^i-n ≡ 1 mod i geldt. De getallen zijn naar de Oostenrijkse wiskundige Walter Knödel genoemd. De rij Knödel-getallen gegeven n wordt aangegeven met K_n. De Knödel-getallen K₁ zijn de Carmichael-getallen.

Alle samengestelde getallen i zijn een Knödel-getal. De indicator van een geheel getal i, genoteerd als φ(i), is het aantal getallen kleiner dan of gelijk aan i die relatief priem zijn met i. Daarbij wordt 1 meegerekend. Zo is φ(8) = 4, omdat de vier getallen 1, 3, 5 en 7 geen grootste gemene deler met 8 hebben. Neem n = i - φ(i), dan is i ∈ K_n.

Voorbeelden

voorbeeld 1

n=4 en i=12.

m = 1, 5, 7 en 11 zijn de getallen die relatief priem zijn met i = 12.

$\begin{array}{ccccccc}{1}^{12-4}& =& 1& & & \equiv & 1(\mathrm{mod}12)\\ 5^{12-4}& =& 390625& =& 32552\cdot 12+1& \equiv & 1(\mathrm{mod}12)\\ 7^{12-4}& =& 5764801& =& 480400\cdot 12+1& \equiv & 1(\mathrm{mod}12)\\ 11^{12-4}& =& 214358881& =& 17863240\cdot 12+1& \equiv & 1(\mathrm{mod}12)\end{array}$

Alle getallen m tot i = 12 voldoen aan m^i-n ≡ 1 mod i.

i = 12 is een Knödel-getal voor n = 4, schrijf: 12 ∈ K₄.

voorbeeld 2

n=4 en i=14.

m = 1, 3, 5, 9, 11 en 13 zijn relatief priem met i = 14.

$\begin{array}{ccccccccc}{1}^{14-4}& =& 1& & & & \equiv & 1& (\mathrm{mod}14)\\ 3^{14-4}& =& 59049& =& 4217\cdot 14& +11& \equiv & 11& (\mathrm{mod}14)\end{array}$

Er is een m die niet aan de congruentie m^i-n ≡ 1 mod i voldoet, dus is i = 14 geen Knödel-getal voor n = 4, schrijf: 14 ∉ K₄.

voorbeeld 3

De rijen K_i tot en met i = 4.

i	Ki
1	561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, …	Sjabloon:Link OEIS
2	4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 24, 26, …	Sjabloon:Link OEIS
3	9, 15, 21, 33, 39, 51, 57, 63, 69, …	Sjabloon:Link OEIS
4	6, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 40, 44, …	Sjabloon:Link OEIS

• Sjabloon:Bronvermelding anderstalige Wikipedia