Karakteristieke functie (kansrekening)

De karakteristieke functie van een stochastische variabele $X$ is in de kansrekening en statistiek de functie die voor reële $t$ gegeven wordt door:

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}\left(e^{itX}\right).$

Er is een eenduidig verband tussen de kansverdeling en de karakteristieke functie van $X$, dat wil zeggen dat de ene te berekenen is uit de andere.

De karakteristieke functie is te berekenen als de integraal:

$\mathrm{E}\left(e^{itX}\right)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}\mathrm{d}{F}_X(x),$

waarin $F_X$ de verdelingsfunctie van $X$ is.

Als $X$ de kansdichtheid $f_X$ heeft, gaat deze integraal over in:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}{f}_X(x)\mathrm{d}x$

De karakteristieke functie bestaat voor elke verdelingsfunctie die op $ℝ$ of ${ℝ}^n$ gedefinieerd is.

Voorbeelden

Normale verdeling

Voor de normale verdeling met parameters $\mu$ en $\sigma$ is de karakteristieke functie:

${\phi }_X(t)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}{e}^{-\frac{1}{2}(\frac{x-\mu }{\sigma }{)}^2}\mathrm{d}x=e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma t^2}.$

Exponentiële verdeling

Voor de exponentiële verdeling met parameter $\lambda$ is de karakteristieke functie:

${\phi }_X(t)=\lambda \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}{e}^{-\lambda x}\mathrm{d}x=\frac{\lambda }{\lambda -it}$

Eigenschappen

De karakteristieke functie is continu in de parameter $t$. Ze neemt steeds de waarde 1 aan in $t=0$.

Voor elk positief geheel getal $n$, elk stel van $n$ reële getallen $t_1,\dots ,t_n$ en $n$ complexe getallen $z_1,\dots ,z_n$ geldt

$\sum _{i,j=1}^n{z}_i{\bar{z}}_j{\phi }_X(t_j-t_i)\ge 0$

Deze drie eigenschappen samen zijn voldoende opdat een gegeven functie $f(t)$ de karakteristieke functie van een of andere stochastische variabele zou zijn; dit is de stelling van Bochner.

Voor onderling onafhankelijke stochastische variabelen $X$ en $Y$ geldt:

• $|{\phi }_X(t)|\le {\phi }_X(0)=1$ (begrensd)
• ${\phi }_{aX+b}(t)=e^{\mathrm{i}tb}{\phi }_X(at)$ (lineaire transformatie)
• ${\phi }_{X+Y}(t)={\phi }_X(t){\phi }_Y(t)$ (convolutie)

Als $X$ een dichtheid $f_X$ heeft:

• $f_X(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-\mathrm{i}tx}{\phi }_X(t)\mathrm{d}t$ (omkeerformule)

De karakteristieke functie is verwant met een aantal andere integraaltransformaties in de kansrekening, zoals de momentgenererende functie en de kansgenererende functie.