Jones-veelterm

Type I Reidemeister-beweging.

In de knopentheorie, een deelgebied van de topologie, is de Jones-veelterm een knoopveelterm, die in 1983 werd ontdekt door de Nieuw-Zeelandse wiskundige Vaughan Jones. Concreet is het een knoopinvariant van een georientieerde knoop of schakel, die aan elke gerichte knoop of schakel een Laurent-veelterm toekent in de variabele

$t^{1/2}$

met coëfficiënten, die een geheel getal zijn.

Definitie door middel van brackets

Stel wij hebben een georiënteerde schakel $L$, die wordt gegeven als een knopendiagram. We zullen de Jones-polynoom, $V(L)$ definiëren door gebruik te maken van de Kauffman-bracketpolynoom, dat we aanduiden met $⟨⟩$. Besef dat de bracketpolynoom een Laurent-polynoom in de variabele $A$ is met geheeltallige coëfficiënten.

Laten wij eerst de hulpveelterm definiëren (die ook bekendstaat als de veralgemeende polynoom)

$X(L)=(-A^3{)}^{-w(L)}⟨L⟩$,

waar $w(L)$ de kronkeling van $L$ in haar gegeven diagram aanduidt. De kronkeling in een diagram is het aantal positieve kruisingen ($L_{+}$ in de onderstaande figuur) minus het aantal negatieve kruisingen ($L_{-}$). De mate van kronkeling is geen knoopinvariant.

Link met Chern-Simons-theorie

Edward Witten toonde als eerste aan dat de Jones-veelterm van een gegeven knoop $\gamma$ kan worden verkregen door de Chern-Simons-theorie op de driesfeer met ijkgroep $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$ te beschouwen en de vacuümverwachtingswaarde van een Wilson-loop $W_F(\gamma )$ te berekenen, geassocieerd met $\gamma$, en de fundamentele representatie $F$ van $\mathrm{S}\mathrm{U}(2)$.

Bronnen

• Sjabloon:En Sjabloon:Citeer nieuws
• Sjabloon:En Sjabloon:Citeer web
• Sjabloon:En Sjabloon:Citeer nieuws