Jacobi-polynoom

Een jacobi-polynoom is een door Carl Jacobi bedachte polynoom die een uitbreiding betekent van de legendre-polynoom.

Definitie

De jacobi-polynomen zijn gedefinieerd door:

P_{n}^{(α, β)} (z) = \frac{Γ (α + n + 1)}{n! Γ (α + β + n + 1)} \sum_{m = 0}^{n} (\binom{n}{m}) \frac{Γ (α + β + n + m + 1)}{Γ (α + m + 1)} {(\frac{z - 1}{2})}^{m}

of in termen van de hypergeometrische functie $_{2} F_{1}$

P_{n}^{(α, β)} (z) = (\binom{n + α}{n})_{2} F_{1} (- n, 1 + n + α + β; α + 1; \frac{1 - z}{2})

De waarde voor $z = 1$ is

P_{n}^{(α, β)} (1) = (\binom{n + α}{n})

Zij hebben de symmetrierelatie

P_{n}^{(α, β)} (- z) = (- 1)^{n} P_{n}^{(β, α)} (z)

waaruit de waarde voor $z = - 1$ wordt verkregen:

P_{n}^{(α, β)} (- 1) = (- 1)^{n} (\binom{n + β}{n})

Zij vormen een orthogonaal stelsel op het interval $[- 1, 1]$ met betrekking tot de gewichtsfunctie:

w (x) = (1 - x)^{α} (1 + x)^{β}

Dit betekent, dat

\int_{- 1}^{1} w (x) P_{m}^{(α, β)} (x) P_{n}^{(α, β)} (x) d x = \frac{2^{α + β + 1}}{2 n + α + β + 1} \frac{Γ (n + α + 1) Γ (n + β + 1)}{Γ (n + α + β + 1) n!} δ_{n m}

Waarbij $δ$ de kroneckerdelta voorstelt, dus de elementen van de eenheidsmatrix.

We zien dus dat een legendre-polynoom $P_{n} (x)$ een bijzonder geval is van de jacobi-polynoom:

P_{n} (x) = P_{n}^{(0, 0)} (x)