Isotomische verwantschap

P₁ en P₂ zijn isotomisch verwant.
D, E, F zijn de middens van BC, CA, AB.
Dan is ook: X₁D=DX₂, Y₁E=EY₂, Z₁F=FZ₂

.

In een driehoek $ABC$ heten twee punten $P_1$ en $P_2$ isotomisch verwant als voor hun Ceva-driehoeken $X_1{Y}_1{Z}_1$ en $X_2{Y}_2{Z}_2$ geldt (zie de figuur rechts):

$A{Z}_1=B{Z}_2,B{X}_1=C{X}_2,C{Y}_2=A{Y}_1$

Ieder punt $P$ dat niet op een zijde van een driehoek ligt, heeft volgens de stelling van Ceva een isotomisch verwant punt. Als $P$ op Steiners omgeschreven ellips van de driehoek ligt, dan ligt het isotomisch verwante punt van $P$ op de oneindig verre rechte.

Enkele bijzondere punten van een driehoek die isotomisch verwant zijn:

• het zwaartepunt met zichzelf;
• het punt van Gergonne en het punt van Nagel.

Involutie

Isotomische verwantschap kan als een involutie $\tau$ worden opgevat. In barycentrische coördinaten wordt de involutie gegeven door:

$\tau :(x:y:z)\mapsto (yz:xz:xy)$

Een rechte lijn wordt op een kegelsnede door de hoekpunten van een driehoek afgebeeld; namelijk op:

• een ellips, als de lijn Steiners omgeschreven ellips niet snijdt,
• een parabool, als de lijn Steiners omgeschreven ellips raakt,
• een hyperbool, als de lijn Steiners omgeschreven ellips snijdt .

Overige

• Bij uitbreiding wordt wel gezegd dat elk hoekpunt van een driehoek isotomisch verwant is met elk punt van de overstaande zijde.
• Isogonale verwantschap bij een driehoek legt een verband tussen twee punten, waarbij een gelijkheid tussen hoeken geldt.