Inductieve verzameling

In de wiskunde is een inductieve verzameling een verzameling die de lege verzameling bevat en van elk element ook de opvolger, waarbij de opvolger van een verzameling $x$ de opvolgerverzameling $x^{\prime }=x\cup \{x\}$ is. Het oneindigheidsaxioma garandeert het bestaan van een inductieve verzameling.

Definitie

Een verzameling $I$ heet een inductieve verzameling, als voldaan is aan:

$\varnothing \in I$

en voor alle $x\in I$ geldt:

$x^{\prime }\in I$

waarin $x^{\prime }=x\cup \{x\}$ de opvolger is van $x$.

Voorbeelden

Natuurlijke getallen

Naar een idee van Richard Dedekind worden de natuurlijke getallen gedefinieerd met behulp van inductieve verzamelingen.

$\mathbb{N}=\bigcap \{x\mid x\text{inductief}\}$

Aangezien de doorsnede van inductieve verzamelingen weer inductief is, vormen de natuurlijke getallen de kleinste inductieve verzameling, bestaande uit de lege verzameling en de successieve opvolgers.

$\mathbb{N}=\{\varnothing ,{\varnothing }^{\prime },{\varnothing }^{″},{\varnothing }^{‴},\dots \}=\{0,1,2,3,\dots \}$

Transfiniete ordinaalgetallen

De transfiniete ordinaalgetallen

$\omega +\omega =\{0,1,2,\dots ,n,n+1,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots \}$

vormen ook een inductieve verzameling.