Harmonische ligging

Van vier verschillende punten $A,B,S$ en $T$ die op één lijn liggen, zegt men dat de paren $(A,B)$ en $(S,T)$ harmonisch liggen ten opzichte van elkaar, als

$\frac{|AS|}{|BS|}=\frac{|AT|}{|BT|}$

Daarin staat $|AB|$ voor de lengte van het lijnstuk $AB$.

De punten $S$ en $T$ worden harmonische verwanten ten opzichte van (c.q. bij) het puntenpaar $(A,B)$ genoemd. Ook wel: de punten $A,B$ scheiden de punten $S,T$ harmonisch.

Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding $(A,B;S,T)$ van de punten gelijk is aan $-1$.

Constructies

Gegeven zijn de punten $A,B$ en $S$ die op één lijn liggen; $S$ ligt in dit geval tussen $A$ en $B$.
Te construeren: het punt $T$ op de lijn $AB$ zó dat de puntenparen $(A,B)$ en $(S,T)$ elkaar harmonisch scheiden.

Eerste constructie

1e constructie

Constructiestappen

1. Punt = C \\ niet op de lijn AB

2. Lijn(C, A) ; Lijn(C, B) ; Lijn(C, S)

3. PuntOp(CS) = M

4. Lijn(A, M) ; Lijn(B, M)

5. Snijpunt(AM, BC) = F ; Snijpunt(BM, AC) = E

6. Lijn(E, F)

7. Snijpunt(EF, AB) = T

Dan is T het gevraagde punt.

Tweede constructie

2e constructie

Constructiestappen

1. Lijn(A, B) = g

2. Cirkel(AB) = k \\ AB is middellijn, M is middelpunt

3. Loodlijn(S, g) = l \\ loodlijn in S op g

4. Snijpunt(k, l) = Q

5. Lijnstuk(M, Q) = MQ

6. Loodlijn(Q, MQ) = t \\ raaklijn in Q aan k

7. Snijpunt(t, g) = T

Dan is T de harmonisch verwante van S bij het puntenpaar (A, B).

Bewijzen

Eerste constructie

De juistheid van deze constructie volgt uit de stelling van Ceva en die van Menelaos. Immers, daaruit blijkt opvolgend dat:

$\frac{|AS|}{|SB|}\cdot \frac{|BF|}{|FC|}\cdot \frac{|CE|}{|EA|}=1$

en dat:

$\frac{|AT|}{|BT|}\cdot \frac{|BF|}{|FC|}\cdot \frac{|CE|}{|EA|}=1$

Zodat $\frac{|AS|}{|BS|}=\frac{|AT|}{|BT|}$.

Tweede constructie

Met $MA=MB=MQ=r,MS=p,TS=q$ is dan:

$\frac{|AS|}{|BS|}\cdot \frac{|BT|}{|AT|}=\frac{r+p}{r-p}\cdot \frac{p+q-r}{p+q+r}$

Rekening houdend met de relatie $r^2=p(p+q)=p^2+pq$, die geldt in de rechthoekige driehoek $MTQ$, leidt dit tot:

$\frac{|AS|}{|BS|}\cdot \frac{|BT|}{|AT|}=\frac{pr+qr-pr}{pr+qr-pr}=1$, zodat ook hier $\frac{|AS|}{|BS|}=\frac{|AT|}{|BT|}$.

Relatie met het harmonisch gemiddelde

Omdat de dubbelverhouding $(A,B;S,T)=-1$, volgt dat

$|AS|\cdot |BT|-|AT|\cdot |BS|=0$

zodat

$|AS|\cdot (|AB|-|AT|)+|AT|\cdot (|AB|-|AS|)=0$

of:

$|AS|\cdot |AB|+|AT|\cdot |AB|=2|AT|\cdot |AS|$

Dus is

$\frac{1}{|AS|}+\frac{1}{|AT|}=\frac{2}{|AB|}$,

wat inhoudt dat $|AB|$ het harmonisch gemiddelde is van $|AS|$ en $|AT|$.

Midden van het eerste lijnstuk

Als $(A,B)$ en $(S,T)$ harmonisch liggen en $M$ het midden is van $AB$, dan geldt

$|MB{|}^2=|MS|\cdot |MT|$,

$|MS|\cdot |ST|=|AS|\cdot |SB|$.

Harmonische ligging van lijnen

Daar het begrip dubbelverhouding ook gedefinieerd is voor een vierstraal − dit is een geordend viertal coplanaire, concurrente, rechte lijnen − kan men ook harmonische ligging van zo'n vierstraal definiëren. De vierstraal $(a,b,c,d)$ is harmonisch als zijn dubbelverhouding $(abcd)$ gelijk is aan −1.

Volgende uitspraken zijn dan gelijkwaardig.

• De vierstraal $(a,b,c,d)$ is harmonisch.
• De lijnen $c$ en $d$ liggen harmonisch ten opzichte van de lijnen $a$ en $b$.
• Lijn $d$ is harmonisch toegevoegd aan lijn $c$ ten opzichte van de lijnen $a$ en $b$.

Voorbeelden

• De bissectrices van twee lijnen liggen harmonisch ten opzichte van die twee lijnen.
• Twee diagonalen van een volledige vierhoek liggen harmonisch ten opzichte van de zijden door hun snijpunt
• De poollijn van een punt $P$, ten opzichte van de rechten $a$ en $b$ met snijpunt $S$, is de lijn harmonisch toegevoegd aan de lijn $SP$ ten opzichte van de lijnen$a$ en $b$.

Zie ook

• Poolverwantschap, pool en poollijn