Gudermannfunctie

Gudermannfunctie met asymptoten $y=\pm \frac{\pi }{2}$

Inverse Gudermmannfunctie

De Gudermannfunctie, genoemd naar Christoph Gudermann (1798 - 1852), legt een verband tussen de goniometrische functies en de hyperbolische functies zonder expliciet gebruik te maken van complexe getallen.

De Gudermannfunctie wordt gedefinieerd als:

$\mathrm{g}\mathrm{d}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}p}{\cosh (p)}$

en wordt gebruikt om de grafiek van een loxodroom op een kaart, die met de mercatorprojectie is gemaakt, te tekenen.

Eigenschappen

Gelijkwaardige definities zijn:

$\begin{array}{cc}\mathrm{g}\mathrm{d}(x)& =\arcsin (\tanh (x))=\arccos (\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x))\\ & =\arctan (\sinh (x))=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}(\cosh (x))\\ & =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{t}(\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(x))=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}(\coth (x))\\ & =2\arctan (\tanh (\frac{1}{2}x))=2\arctan (e^x)-\frac{1}{2}\pi \end{array}$

De Gudermannfunctie voldoet aan de volgende gelijkheden:

$\begin{array}{cc}\sin (\mathrm{g}\mathrm{d}(x))& =\tanh (x)\text{en}\cos (\mathrm{g}\mathrm{d}(x))=\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)\\ \tan (\mathrm{g}\mathrm{d}(x))& =\sinh (x)\text{en}\sec (\mathrm{g}\mathrm{d}(x))=\cosh (x)\\ \cot (\mathrm{g}\mathrm{d}(x))& =\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{h}(x)\text{en}\csc (\mathrm{g}\mathrm{d}(x))=\coth (x)\\ \tan (\frac{1}{2}\mathrm{g}\mathrm{d}(x))& =\tanh (\frac{1}{2}x)\end{array}$

Inverse

De inverse Gudermannfunctie wordt gegeven door:

$\begin{array}{cc}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{g}\mathrm{d}(x)& ={\mathrm{g}\mathrm{d}}^{-1}(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}p}{\cos (p)}\\ & =\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(\sec (x))=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(\sin (x))\\ & =\ln (\sec (x)(1+\sin (x)))\\ & =\ln (\tan (x)+\sec (x))=\ln \tan (\frac{1}{4}\pi +\frac{1}{2}x)\\ & =\frac{1}{2}\ln \frac{1+\sin (x)}{1-\sin (x)}\end{array}$

Afgeleide

De afgeleiden van de Gudermannfunctie en de inverse ervan zijn:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{g}\mathrm{d}(x)=\frac{1}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}(x)}$ en

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{g}\mathrm{d}(x)=\frac{1}{\cos (x)}$