Gescheiden verzamelingen

In de topologie en andere deelgebieden van de wiskunde zijn gescheiden verzamelingen paren van deelverzamelingen van een gegeven topologische ruimte die elkaar niet overlappen en elkaar niet raken. Elk van de beide gescheiden deelverzamelingen is disjunct met de afsluiting van de andere. De beide afsluitingen hoeven echter niet disjunct te zijn. De eigenschap speelt een rol bij samenhangende ruimten (en hun samenhangende componenten), en ook bij de scheidingsaxioma's voor topologische ruimten.

Twee in de topologie van een topologische ruimte gescheiden deelverzamelingen zijn ook verzamelingtheoretisch disjunct. Het omgekeerde geldt echter niet algemeen.

Definitie

Laat $A$ en $B$ deelverzamelingen zijn van de topologische ruimte $(X,𝒯)$, en $\bar{A}$ en $\bar{B}$ de respectievelijke topologische afsluitingen.

Gescheiden verzamelingen

Men noemt $A$ en $B$ gescheiden verzamelingen, als $A\cap \bar{B}=\varnothing$ en $\bar{A}\cap B=\varnothing$.

De intervallen $[-1,0)$ en $(0,1]$ in de reële getallen $ℝ$ zijn in de gewone topologie gescheiden. Wel ligt het getal 0 in elk van beider afsluitingen.

Er zijn nog andere vormen van gescheiden verzamelingen.

Door omgevingen gescheiden

$A$ en $B$ heten door omgevingen gescheiden, als er disjuncte omgevingen $U$ van $A$ en $V$ van $B$ zijn.

Soms wordt geëist dat de omgvingen open zijn, maar dat is equivalent met deze definitie.

Door omgevingen gescheiden verzamelingen zijn ook gescheiden verzamelingen.

De intervallen $[-1,0)$ en $(0,1]$ in $ℝ$ zijn in de gewone topologie ook door omgevingen gescheiden, bijvoorbeeld door de omgevingen $(-2,0)$ en $(0,2)$

Door gesloten omgevingen gescheiden

$A$ en $B$ heten door gesloten omgevingen gescheiden, als er disjuncte gesloten omgevingen $U$ van $A$ en $V$ van $B$ zijn,

Door gesloten omgevingen gescheiden verzamelingen zijn uiteraard ook door omgevingen gescheiden verzamelingen.

De intervallen $[-1,0)$ en $(0,1]$ in $ℝ$ zijn in de gewone topologie niet door gesloten omgevingen gescheiden. Van elk zal een gesloten omgeving het getal 0 bevatten.

Door een functie gescheiden

$A$ en $B$ heten door een functie gescheiden, als er een continue functie $f:X\to ℝ$ is waarvoor $f(A)=\{0\}$ en $f(B)=\{1\}$.

Door een functie gescheiden verzamelingen zijn ook door gesloten omgevingen gescheiden verzamelingen.

De intervallen $[-1,0)$ en $(0,1]$ in $ℝ$ zijn in de gewone topologie niet door gesloten omgevingen gescheiden en dus ook niet door een functie gescheiden. Duidelijk is dat een functie die op $[-1,0)$ de waarde 0 heeft en op $(0,1]$ de waarde 1, niet continu kan zijn.

Scherp door een functie gescheiden

$A$ en $B$ heten scherp (Duits: scharf, Engels: precisely) door een functie gescheiden, als er een continue functie $f:X\to ℝ$ is waarvoor $f^{-1}(0)=A$ en $f^{-1}(1)=B$.

Verzamelingen die scherp door een functie gescheiden worden, zijn ook door een functie gescheiden verzamelingen.