Gemiddelde kromming

In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is de gemiddelde kromming $H$ van een oppervlak $S$ een extrinsieke maat, die de kromming van een ingebed oppervlak in een omliggende ruimte, zoals een Euclidische ruimte, beschrijft.

Definitie

Laat $p$ een punt op het oppervlak $S$ zijn. Beschouw alle krommen $C_i$ op $S$, die het punt $p$ op het oppervlak snijden. Iedere $C_i$ heeft een bijbehorende kromming $K_i$ gegeven op $p$. Van deze krommingen $K_i$, is er ten minste een, ${\kappa }_1$, als maximaal en een, ${\kappa }_2$ als minimaal gekarakteriseerd en deze twee krommingen ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ staan als de hoofdkrommingen van $S$ bekend.

De gemiddelde kromming op $p\in S$ is het gemiddelde van deze twee krommingen, vandaar de naam:

$H=\frac{1}{2}({\kappa }_1+{\kappa }_2).$

Meer in het algemeen wordt de gemiddelde kromming voor een hyperoppervlak, $T$, gegeven door

$H=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{\kappa }_i.$

Minimaaloppervlak van Costa.

Minimaaloppervlakken

Sjabloon:Zie hoofdartikel Een minimaaloppervlak is een oppervlak met op alle punten een gemiddelde kromming van nul. Klassieke voorbeelden van minimaaloppervlakken zijn de catenoïde, de helicoïde en het Enneper-oppervlak. Recente ontdekkingen zijn onder meer het minimaaloppervlak van Costa en de gyroïde.

Een uitbreiding van het idee van een minimaaloppervlak zijn oppervlakken met een constante gemiddelde kromming.

Zie ook

• Gaussiaanse kromming