Frobenius-endomorfisme

In de commutatieve algebra en de theorie van lichamen/velden, deelgebieden van de wiskunde, is het frobenius-endomorfisme een speciaal endomorfisme van commutatieve ringen met een priemgetal $p$ als karakteristiek dat elk element afbeeldt. op zijn $p$-de macht. In bepaalde contexten is een frobenius-endomorfisme een automorfisme, maar dit is in het algemeen niet het geval. Commutatieve ringen met een priemgetal als karakteristiek vormen een belangrijke klasse die in het bijzonder de lichamen/velden omvat. Het frobenius-endomorfisme is genoemd naar Ferdinand Georg Frobenius.

Voor eindige lichamen $\mathrm{G}\mathrm{F}(p^n)$ van karakteristiek $p$ is het frobenius-endomorfisme van speciaal belang, en is het zelfs zo dat de gehele groep van automorfismen wordt voortgebracht door het frobenius-endomorfisme

$F:x\mapsto x^p$

Er geldt $(a+b{)}^p=a^p+b^p$, aangezien alle andere termen in het binomium deelbaar zijn door $p$. Dus is

$F(a+b)=F(a)+F(b)$

Ook is:

$F(ab)=(ab{)}^p=a^p{b}^p=F(a)F(b)$

en

$F(1)=1$

Er zijn niet meer dan $n$ automorfismen, omdat de multiplicatieve groep ${\mathrm{G}\mathrm{F}}_q^{*}$ cyclisch is.