Farlie-Morgensternfamilie

De Farlie-Morgernsternfamilie is een familie van tweedimensionale verdelingsfuncties, voortgebracht door twee eendimensionale verdelingsfuncties.

Definitie

Laat $F$ en $G$ twee eendimensionale verdelingsfuncties zijn. De Farlie-Morgensternfunctie is een tweedimensionale verdelingsfunctie van stochastische variabelen $X$ en $Y$ die wordt gedefinieerd als

$P(X\le x,Y\le y)=H(x,y)=F(x)G(y)(1+\alpha (1-F(x))(1-G(y)))$

waarin $\alpha$ een parameter is waarvoor moet gelden $|a|\le 1$.

Eigenschappen

De marginale verdelingsfuncties $F_X$ van $X$ en $F_Y$ van $Y$ zijn juist respectievelijk $F$ en $G$:

$F_X(x)=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }H(x,y)=F(x)$,

$F_Y(y)=\underset{y\to \mathrm{\infty }}{\lim }H(x,y)=G(y)$.

Voor $\alpha =0$ geldt $H(x,y)=F(x)G(y)$, en dan zijn $X$ en $Y$ onafhankelijk.

Als men voor $F(x)$ en $G(y)$ uniforme verdelingen neemt, is $H(x,y)$ een copula.