F-verdeling

Sjabloon:Infobox kansverdeling De F-verdeling, genoemd naar Sir R.A. Fisher, is een kansverdeling die afgeleid is van de normale verdeling en die voornamelijk gebruikt wordt in de statistiek. De F-verdeling is de verdeling van het quotiënt van twee onderling onafhankelijke chi-kwadraatverdeelde grootheden. Zij vindt vooral toepassing in de variantie-analyse als verdeling van de toetsingsgrootheid van de F-toets.

De F-verdeling met $m$ vrijheidsgraden in de teller en $n$ vrijheidsgraden in de noemer is gedefinieerd als de verdeling van de stochastische variabele:

$F_{m,n}=\frac{{\chi }_m^2/m}{{\chi }_n^2/n}$,

waarin ${\chi }_m^2$ en ${\chi }_n^2$ onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn die beide chi-kwadraatverdeeld zijn met respectievelijk $m$ en $n$ vrijheidsgraden.

Als $S_1^2$ en $S_2^2$ respectievelijk de steekproefvarianties zijn van de eerste $m$ en de laatste $n$ van $m+n$ onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen $Z_1,\dots ,Z_{m+n}$, dan heeft de grootheid

$F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$

een F-verdeling met $m-1$ en $n-1$ vrijheidsgraden. Dit volgt direct uit de definitie van de F-verdeling, omdat de steekproefvariantie van een aantal onderling onafhankelijke normaal verdeelde variabelen chi-kwadraatverdeeld is.

Kansdichtheid

De formule van de kansdichtheid $f_{m,n}$ wordt voor $x>0$ gegeven door:

$f_{m,n}(x)=\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{m+n}{2})}{\mathrm{\Gamma }(\frac{m}{2})\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2})}\frac{(\frac{m}{n}{)}^{m/2}{x}^{m/2-1}}{(1+\frac{m}{n}x{)}^{(m+n)/2}}$

Verwachtingswaarde

De verwachtingswaarde is

$\mathrm{E}{F}_{m,n}=\frac{n}{n-2}$;

deze bestaat dus voor $n>2$.

Variantie

De variantie is

$\mathrm{var}(F_{m,n})=2{\left(\frac{n}{n-2}\right)}^2\frac{m+n-2}{m(n-4)}$;

deze bestaat voor $n>4$.