Equivalente rijen

Equivalente rijen zijn rijen waarvan vanaf een bepaald rangnummer, de afstand tussen overeenkomstige elementen in de twee rijen willekeurig klein wordt.

Definitie

Stel $(X,d)$ is een metrische ruimte. Twee rijen $(x_n)$ en $(y_n)$ in $X$ heten equivalent als $d(x_n,y_n)\to 0$. Dit wordt vaak genoteerd met $(x_n)\sim (y_n)$. Formeel kan de definitie als volgt genoteerd worden:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{n}_0\mathrm{\forall }n\ge n_0:d(x_n,y_n)<\epsilon$

Dit betekent dat voor elke gewenste nauwkeurigheidsgraad $\epsilon$ er een rangnummer $n_0$ kan worden gevonden, waarvoor geldt dat voor elk groter rangnummer de overeenkomstige elementen uit de rijen dichter bij elkaar liggen dan $\epsilon .$

Eigenschappen

• Twee rijen $(x_n)$ en $(y_n)$ die convergeren naar een gemeenschappelijke limiet, zijn equivalent. Omgekeerd, als $(x_n{)}_n$ en $(y_n{)}_n$ equivalent zijn, geldt $x_n\to a\iff y_n\to a$
• Twee equivalente rijen $(x_n)$ en $(y_n)$ worden door een uniform continue functie $f$ afgebeeld op twee ook equivalente rijen $(f(x_n))$ en $(f(y_n)).$ Deze eigenschap wordt in de praktijk vaak gebruikt om aan te tonen dat een functie niet uniform continu is (met andere woorden men zoekt vaak twee equivalente rijen die door de bestudeerde functie niet worden afgebeeld op equivalente rijen). Let wel op de logische implicaties: Als $f$ uniform continu is, dan bewaart ze de equivalentie van rijen. Als twee equivalente rijen door een functie $f$ worden afgebeeld op twee equivalente rijen, geeft dit geen uitsluitsel over de uniforme continuïteit van die functie.

Voorbeeld

De rijen $(n^{1/n})$ en $(\frac{1}{n}+1)$ zijn equivalent, want ze convergeren naar dezelfde limiet 1.