Duale bundel

In de wiskunde is de duale bundel een operatie op vectorbundels die het begrip van een duale vectorruimte uitbreidt.

Definitie

De duale bundel van een vectorbundel $\pi :E\to X$ is de vectorbundel ${\pi }^{*}:E^{*}\to X$ waarvan de vezels de duale ruimtes zijn van de vezels van $E$ .

Op equivalente wijze kan $E^{*}$ worden gedefinieerd als de Hom-bundel $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E,ℝ\times X),$ dat wil zeggen, als de vectorbundel van morfismen van $E$ naar de triviale lijnbundel $ℝ\times X\to X.$

Constructies en voorbeelden

Gegeven een lokale trivialisatie van $E$ met transitiefuncties $t_{ij},$ wordt een lokale trivialisatie van $E^{*}$ gegeven door dezelfde open overdekking van $X$ met transitiefuncties $t_{ij}^{*}=(t_{ij}^T{)}^{-1}$ (de inverse van de transpositie). De duale bundel $E^{*}$ wordt vervolgens geconstrueerd met behulp van de vezelbundelconstructiestelling. Specifieke gevallen worden gegeven door de volgende:

• De duale bundel van een geassocieerde bundel is de bundel die hoort bij de duale representatie van de structuurgroep .
• De duale bundel van de raakbundel van een differentieerbare variëteit is de coraakbundel.

Eigenschappen

Als de basisruimte $X$ paracompact en Hausdorff is, dan is een reële vectorbundel $E$ van eindige rang isomorf met de duale vectorbundel $E^{*}$. Echter, net als voor vectorruimten is er geen natuurlijke keuze van een isomorfisme, tenzij $E$ voorzien is van een inwendig product .

De Hom-bundel $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(E_1,E_2)$ van twee vectorbundels is canoniek isomorf met de tensorproductbundel $E_1^{*}\otimes E_2.$

Gegeven een morfisme $f:E_1\to E_2$ van vectorbundels over dezelfde ruimte bestaat er een morfisme $f^{*}:E_2^{*}\to E_1^{*}$ tussen hun duale bundels (in de omgekeerde volgorde), vezelgewijs gedefinieerd als de transpositie van elke lineaire afbeelding $f_x:(E_1{)}_x\to (E_2{)}_x.$ Zodoende definieert de dualebundelconstructie een contravariante functor van de categorie van vectorbundels en hun morfismen naar zichzelf.