Dirichlet-energie

In de wiskunde is de Dirichlet-energie een maat voor de "variatie" van een functie. Meer abstract is het een kwadratische functionaal op de Sobolev-ruimte $H^1$. De Dirichlet-energie is nauw verbonden met de Laplace-vergelijking en is genoemd naar de Duitse wiskundige Johann Dirichlet.

Definitie

Gegeven een open verzameling $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^n$ en een functie $u:\mathrm{\Omega }\to ℝ$, dan is de Dirichlet-energie van u gedefinieerd door

$E[u]=\frac{1}{2}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{\nabla }u(x){|}^2\mathrm{d}V,$

Eigenschappen en toepassingen

Aangezien de Dirichlet-energie de integraal is van een niet-negatieve grootheid, is zij zelf ook niet-negatief, d.w.z.

$E[u]\ge 0$

voor elke functie u.

Het oplossen van de Laplace-vergelijking

$\mathrm{\Delta }u(x)=0\text{ vor alle }x\in \mathrm{\Omega }$

(met geschikte randvoorwaarden) is equivalent aan het oplossen van het probleem uit de variatierekening van het vinden van een functie u die aan de randvoorwaarden voldoet en minimale Dirichlet-energie heeft. Zo'n oplossing heet een harmonische functie en deze zijn het onderwerp van studie in de potentiaaltheorie.

Zie ook

• principe van Dirichlet
• Totale variatie

Referenties

• Sjabloon:Cite book