Dirac-maat

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een dirac-maat ${\delta }_x$ op een meetbare ruimte $(X,\mathrm{\Sigma })$ de maat die de singleton $\{x\}$ de maat 1 geeft:

${\delta }_x(\{x\})=1$

In het algemeen wordt de maat voor een meetbare verzameling $A\in \mathrm{\Sigma }$ gedefinieerd door

${\delta }_x(A)=\{\begin{array}{cc}0,& x\in ̸A;\\ 1,& x\in A.\end{array}$

De dirac-maat is een kansmaat en vertegenwoordigt in termen van waarschijnlijkheid de bijna zekere uitkomst $x$ in de uitkomstenruimte $X$.

De naam van de dirac-maat is afgeleid van de dirac-deltafunctie.

Eigenschappen van een dirac-maat

• ${\delta }_x$ is een kansmaat, en dus een eindige maat.

Veronderstel dat $(X,T)$een topologische ruimte is en dat $\mathrm{\Sigma }$ ten minste zo "fijn" is als de borelstam $\sigma (T)$ op $X$.

• ${\delta }_x$ is dan en slechts dan een strikt positieve maat als de topologie $T$ zodanig is dat $x$ in elke niet-lege open verzameling ligt.
• Aangezien ${\delta }_x$ een kansmaat is, is het ook een lokaal eindige maat.
• Als $X$ een hausdorff-ruimte is met de borel sigma-algebra, dan is een inwendige reguliere maat, aangezien de singletons altijd compact zijn. ${\delta }_x$ is dus ook een radon-maat.
• Ervan uitgaande dat de topologie $T$ "fijn" genoeg is zodat $\{x\}$ gesloten is, wat het geval is in de meeste toepassingen, dan is $\{x\}$ de drager $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}({\delta }_x)$ van ${\delta }_x$. Verder is ${\delta }_x$ de enige kansmaat die door $\{x\}$ wordt gedragen.
• Als $X={ℝ}^n$ een $n$-dimensionale euclidische ruimte is met de gebruikelijke sigma-algebra en $n$-dimensionale lebesgue-maat ${\lambda }_n$, dan is ${\delta }_x$ een singuliere maat met betrekking tot ${\lambda }_n$.