Criterium van Eisenstein

Het criterium van Eisenstein geeft er een voldoende voorwaarde voor, dat een gegeven polynoom met gehele coëfficienten irreducibel is. Een polynoom dat aan de voorwaarden voldoet, die in het criterium zijn gesteld, is irreducibel over de rationale getallen en, dat is in feite hetzelfde, over de gehele getallen.

Het criterium is naar Ferdinand Eisenstein genoemd. Het werd als eerste door T. Schönemann gepubliceerd, maar werd daarna ook door Eisenstein gebruikt. Eisenstein paste het criterium toe op polynomen met coëfficiënten in $\mathbb{Z}[i]$, niet $\mathbb{Z}$.

Criterium

Het polynoom

$f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$

met gehele coëfficienten is irreducibel over de rationale getallen, als er een priemgetal $p$ is, zodanig dat

• $a_n$ niet door $p$ kan worden gedeeld,
• alle andere coëfficienten $a_i$ wel door $p$ kunnen worden gedeeld en
• $a_0$ niet door $p^2$ kan worden gedeeld.

Voorbeelden

• $3x^3+5x^2+15x+10$ is irreducibel, omdat de coëfficiënten 5, 15 en 10 door het priemgetal 5 kunnen worden gedeeld, maar 3 niet en 10 niet door 25 kan worden gedeeld.
• $x^n-p$, met $n$ vrij en $n$ een priemgetal, is irreducibel.
• Als $p$ een priemgetal is, dan is

$x^{p-1}+x^{p-2}+\dots +x+1$

irreducibel.

Algemeen

Als de gehele getallen door een uniek factorisatiedomein $D$ worden vervangen, de rationale getallen door het quotiëntenlichaam $F$ van $D$ en $p$ door een priemelement in $D$, dan geldt het criterium ook.