Coördinatenruimte

In de lineaire algebra, een deelgebied van de wiskunde, is de coördinatenruimte $F^n$ het $n$-voudige cartesische product van het lichaam (Ned) / veld (Be) $F$. De coördinatenruimte $F^n$ bestaat uit de $n$-tupels, dus rijen van $n$ elementen, van $F$. De rijen van aftelbaar oneindig veel elementen van $F$ vormen ook een coördinatenruimte. Een coördinatenruimte is het voorbeeld van een vectorruimte met aftelbare dimensie.

De reële coördinatenruimte ${ℝ}^n$ is een voorbeeld van een coördinatenruimte.

Definitie

Voor een willekeurig lichaam (Ned) / veld (Be) $F$, zoals de reële getallen $ℝ$ of de complexe getallen $ℂ$ en natuurlijk getal $n$ wordt de ruimte $F^n$ van alle $n$-tupels van elementen van $F$ de n-dimensionale coördinatenruimte genoemd.

Deze coördinatenruimte is een $n$-dimensionale vectorruimte over $F$. Een element $𝐱$ van $F$ is een rij

$𝐱=(x_1,x_2,\dots ,x_n)$,

waarin elke $x_i$ een element is van $F$. De $n$ elementen $x_i$ heten de kentallen van de vector $𝐱$. De $n$ vectoren $x_i{𝐞}_i=(0,\dots ,0,x_i,0,\dots ,0)$, waarin ${𝐞}_i=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)$ de $i$-de eenheidsvector uit de standaardbasis is, heten de componenten van $𝐱$. Een vector is de som van de componenten ervan:

$𝐱=\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐞}_i$

Optellen en scalair vermenigvuldigen op $F^n$ zijn gedefinieerd door

$𝐱+𝐲=(x_1+y_1,x_2+y_2,\dots ,x_n+y_n)$

en

$\alpha 𝐱=(\alpha x_1,\alpha x_2,\dots ,\alpha x_n)$

De nulvector is

$\mathrm{𝟎}=(0,0,\cdots ,0)$

en de additieve inverse van de vector $𝐱$ wordt gegeven door

$-𝐱=(-x_1,-x_2,\cdots ,-x_n)$

Alle $n$-dimensionale vectorruimten over hetzelfde lichaam zijn isomorf met elkaar.

Matrixnotatie

De elementen van de coördinatenruimte $F^n$ worden ook wel in matrixnotatie geschreven als kolomvectoren

$𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]$

of soms als rijvectoren:

$𝐱=\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& \dots & x_n\end{array}\right]$

De coördinatenruimte $F^n$ kan dan worden geïnterpreteerd als de ruimte van alle $n\times 1$-kolomvectoren of alle $1\times n$-rijvectoren, met daarbij de bewerkingen van optellen van matrices en de matrixvermenigvuldiging.

Lineaire transformaties van $F^n$ naar $F^m$ kunnen dan worden geschreven als $m\times n$-matrices, die via linkervermenigvuldiging, wanneer de elementen van $F^n$ kolomvectoren zijn, of rechtervermenigvuldiging, als het rijvectoren zijn, inwerken op de elementen van $F^n$.

Standaardbasis

De coördinatenruimte $F^n$ heeft als standaardbasis het stelsel eenheidsvectoren:

${𝐞}_1=(1,0,\dots ,0)$

${𝐞}_2=(0,1,\dots ,0)$

$⋮$

${𝐞}_n=(0,0,\dots ,1)$

waarin 1 de neutrale element voor de vermenigvuldiging in $F$ aanduidt.