Constante van Gelfond

Het getal $e^{\pi }$, oftewel e tot de macht $\pi$, wordt de constante van Gelfond genoemd. De numerieke waarde bedraagt bij benadering 23,1406926...

De constante kan ook geschreven worden als:

$(-1{)}^{-i}$,

waarin $i$ de imaginaire eenheid is.

Definieert men

$k_0=\frac{1}{\sqrt{2}}$

en voor $n>0$

$k_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-k_n^2}}{1+\sqrt{1-k_n^2}}$,

dan convergeert

${\left(\frac{4}{k_{n+1}}\right)}^{2^{-n}}$

snel naar $e^{\pi }$.

Eigenschappen

Het getal $e^{\pi }$ is een transcendent getal. Dit werd aangetoond door Aleksander Gelfond aan de hand van de stelling van Gelfond-Schneider.

Het is opmerkelijk dat van andere combinaties van e en $\pi$ zoals $\pi +e$, $\pi e$ of ${\pi }^e$ (nog) niet bekend is of die transcendent of zelfs maar irrationaal zijn.