Constante van Feigenbaum

Illustratie

De constante van Feigenbaum is een wiskundige constante die kan optreden in een bifurcatiediagram (zie bifurcatietheorie en chaostheorie). De constante werd in 1980 ontdekt door de Amerikaanse fysicus Mitchell Feigenbaum en heeft de waarde

De decimale expansie staat in Sjabloon:Link OEIS.

De constante als ratio in fractals

Het ontstaan van deze verhouding kan worden geïllustreerd aan de hand van de volgende recursieve formule.

$f(x)=a-x^2.$

Sjabloon:Mvar is de bifurcatieparameter, Sjabloon:Mvar is de variabele. De waardes Sjabloon:Mvar waar de periode (aantal verschillende constanten waar de functie naar limiteert) van deze functie verdubbelt (de grootste waarde Sjabloon:Mvar waar de functie niet naar tussen twee of vier verschillende waardes voor x oscilleert), zijn Sjabloon:Mvar, Sjabloon:Mvar etc. Deze staan in de volgende tabel:

Sjabloon:Mvar	Periode	Bifurcatieparameter ('an')	Ratio $\frac{a_{n-1}-a_{n-2}}{a_n-a_{n-1}}$
1	2	0.75	—
2	4	1.25	—
3	8	1.3680989	4.2337
4	16	1.3940462	4.5515
5	32	1.3996312	4.6458
6	64	1.4008286	4.6639
7	128	1.4010853	4.6682
8	256	1.4011402	4.6689

De ratio in de laatste kolom limiteert naar de eerste Feigenbaum constante.

Mandelbrot set

Zelfgelijkvormigheid binnen de Mandelbrot set. Het midden van de afbeelding schuift van -1 naar -1,31 op de reële as, terwijl er met ongeveer de Feigenbaum constante wordt ingezoomd.

Bij de Mandelbrot set verschijnt de Feigenbaum constante als verhouding in afstand tussen elkaar grenzende cirkels liggend op het negatieve deel van de reële as op het Complexe vlak.

Sjabloon:Mvar	Periode = $2^n$	Bifurcatieparameter ('cn')	Verhouding $=\frac{c_{n-1}-c_{n-2}}{c_n-c_{n-1}}$
1	2	-0.75	—
2	4	-1.25	—
3	8	-1.3680989	4.2337
4	16	-1.3940462	4.5515
5	32	-1.3996312	4.6458
6	64	-1.4008287	4.6639
7	128	-1.4010853	4.6682
8	256	-1.4011402	4.6689
9	512	-1.401151982029
10	1024	-1.401154502237
Sjabloon:Mvar		-1.4011551890…

Tweede Feigenbaum constante

De tweede constante van Feigenbaum (Sjabloon:Link OEIS) is de verhouding tussen de diameter van een hoofdtak en zij-vertakking binnen het inwendige van de Mandelbrot set.Sjabloon:Bron? Sjabloon:Mvar

Zie ook

• Logistische differentievergelijking