Concordant (statistiek)

In de statistiek wordt een paar (verschillende) waarnemingsparen $(X_i,Y_i)$ en $(X_j,Y_j)$ van een tweetal stochastische variabelen concordant genoemd, als de ordening van $X_i$ en $X_j$ overeenkomt met de ordening van $Y_i$ en $Y_j$. Is de ordening tegengesteld, dan heet het paar discordant.

Een concordant paar heeft dus met $X_i<X_j$ ook $Y_i<Y_j$, en met $X_i>X_j$ ook $Y_i>Y_j$.

Een discordant paar heeft met $X_i<X_j$ daarentegen $Y_i>Y_j$, en met $X_i>X_j$ analoog $Y_i<Y_j$

Deze eigenschappen kunnen met de functie signum als volgt geformuleerd worden.

Definitie

Laat $(X_1,Y_1),\dots ,(X_n,Y_n)$ een steekpoef zijn van het tweetal simultaan verdeelde stochastische variabelen $X$ en $Y$. Het tweetal paren $(X_i,Y_i)$ en $(X_j,Y_j),j\ne i$ met $X_i\ne X_j$ en $Y_i\ne Y_j$ heet een concordant paar als

$\mathrm{sgn}(X_i-X_j)=\mathrm{sgn}(Y_i-Y_j)$.

Het tweetal heet een discordant paar als

$\mathrm{sgn}(X_i-X_j)=-\mathrm{sgn}(Y_i-Y_j)$.

Het tweetal paren $(X_i,Y_i)$ en $(X_j,Y_j)$ van een concordant (discordant) paar worden ook concordante (discordante) paren genoemd.

2×2-tabel

De steekproef van twee simultaan verdeelde dichotome stochastisch variabelen $X$ met waarden $x_0$ en $x_1>x_0$, en $Y$ met waarden $y_0$ en $y_1>y_0$ kan eenvoudig weergegeven worden in de kruistabel:

	$Y=y_0$	$Y=y_1$
$X=x_0$	$N_{00}$	$N_{01}$
$X=x_1$	$N_{10}$	$N_{11}$

waarin $N_{ij}$ de aantallen steekproefelementen met de betrokken waarden voorstellen.

Het tweetal $(x_0,y_0)$ $(x_1,y_1)$ is een concordant paar en het tweetal $(x_0,y_1)$ $(x_1,y_0)$ een discordant paar. Anders gezegd zijn $(x_0,y_0)$ en $(x_1,y_1)$ concordante paren en $(x_0,y_1)$ en $(x_1,y_0)$ discordante paren.

Er zijn $N_{00}$ paren $(x_0,y_0)$ en $N_{11}$ paren $(x_1,y_1)$ die gecombineerd een concordant paar vormen. Het aantal concordante paren bedraagt dus $N_{00}{N}_{11}$, waarbij is afgezien van de volgorde.

Er zijn $N_{01}$ paren $(x_0,y_1)$ en $N_{10}$ paren $(x_0,y_1)$ die gecombineerd een discordant paar vormen. Het aantal discordante paren bedraagt dus $N_{01}{N}_{10}$, waarbij is afgezien van de volgorde.

Dit kan ook als volgt beschreven worden. De $n=N_{00}+N_{01}+N_{10}+N_{11}$ steekproefelementen kunnen gecombineerd worden tot $n^2$ paren, bestaande uit alle $N_{ij}{N}_{rs}$ paren $(x_i,y_j)$ $(x_r,y_s)$ voor $i,j,r,s\in \{0,1\}$

Daarvan zijn de $N_{00}{N}_{11}$ paren $(x_0,y_0)$ $(x_1,y_1)$ concordant, en in wezen dezelfde als de $N_{11}{N}_{00}$ paren $(x_1,y_1)$ $(x_0,y_0)$.

Evenzo zijn de $N_{01}{N}_{10}$ paren $(x_0,y_1)$ $(x_1,y_0)$ discordant, en in wezen dezelfde als de $N_{10}{N}_{01}$ paren $(x_1,y_0)$ $(x_0,y_1)$.

Toepassing

De begrippen 'concordant' en 'discordant' vinden toepassing in:

• Kendalls tau

Literatuur

• Kendall rank correlation.
• Kendall, M. (1948) Rank Correlation Methods, Charles Griffin & Company Limited
• Kendall, M. (1938) "A New Measure of Rank Correlation", Biometrica, 30, 81-89.

Externe links

• MacTutor: David George Kendall
• Janus: The Papers of Professor David Kendall