Complexe logaritme

Complexe logaritme met een kleurafbeelding

In de functietheorie is een complexe logaritme de inverse van de complexe exponentiële functie, net zoals de natuurlijke logaritme y = ln x de inverse is van de reële exponentiële functie x = e ^y. Een logaritme van $z$ is dus een complex getal $w$, zodanig dat $e^w=z$. De notatie is $w=\log z$.

Omdat ieder complexe getal $z$ ongelijk aan 0 dus een oneindig aantal logaritmen heeft, is de nodige zorg vereist om de logaritme een eenduidige betekenis te geven:

$\mathrm{R}\mathrm{e}(\log z)=\log |z|$

$\mathrm{I}\mathrm{m}(\log z)$ is het argument van $z$.

Dus als $z=r{e}^{i\theta }$ met $r>0$, in polaire vorm, dan is $w=\ln r+i\theta$ een logaritme van $z$. Heeltallige veelvouden van $2\pi i$ hierbij optellen geeft de andere waarden van $w$ die voldoen aan $e^w=z$.