Cirkelprobleem van Gauss

In de wiskunde is het cirkelprobleem van Gauss de vraag naar het aantal punten op een rooster dat binnen een cirkel ligt met straal $r$ en de oorsprong als middelpunt. Het probleem is genoemd naar Carl Friedrich Gauss, die als eerste met een oplossing kwam.

Noem deze waarde $N(r)$. Het is in te zien dat $N(r)\approx \pi r^2$, ongeveer gelijk aan de oppervlakte van de cirkel.

Probleemstelling

Beschouw een cirkel in ${ℝ}^2$ met het middelpunt in de oorsprong en straal $r$. Het gaat erom het aantal punten $N(r)$ te berekenen met coördinaten $(m,n)$, dat binnen deze cirkel ligt en waarvan $m$ en $n$ beide gehele getallen zijn. De vergelijking van deze cirkel in cartesiaanse coördinaten is:

$x^2+y^2=r^2$,

zodat de vraag dezelfde is als hoeveel paren gehele getallen $(m,n)$ er zijn waarvoor

$m^2+n^2\le r^2$

Voor bijvoorbeeld $r=2$ liggen de 13 paren $(0,0),(\pm 1,0),(\pm 1,\pm 1),(0,\pm 1),(\pm 2,0),(0,\pm 2)$ binnen de cirkel.

Voor $r=0,1,2,\dots ,10$ zijn de gevraagde aantallen $N(r)$:

1, 5, 13, 29, 49, 81, 113, 149, 197, 253, 317

Formule

De waarde van $N(r)$ kan door verschillende reeksen worden gegeven, bijvoorbeeld met behulp van de entier:

$N(r)=1+4\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(\lfloor \frac{r^2}{4k+1}\rfloor -\lfloor \frac{r^2}{4k+3}\rfloor )$

Een eenvoudiger formule maakt gebruik van het aantal manieren $r_2(n)$ om $n$ te schrijven als de som van twee kwadraten. Dan is:

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^2}{r}_2(n)$

met

$r_2(n)=4(d_1(n)-d_3(n))$

waarin $d_1(n)$ het aantal getallen is waar $n$ door kan worden gedeeld en die modulo 4 congruent zijn met 1 en $d_3(n)$ het aantal getallen is waar $n$ door kan worden gedeeld die modulo 4 congruent zijn met 3.