Cilindrische algebra

Een cilindrische algebra is een algebraïsche structuur, bedacht door Alfred Tarski, die op natuurlijke wijze verschijnt in de algebraïsering van de eerste-ordelogica.

Een cilindrische algebra van dimensie $\alpha$, waarin $\alpha$ een ordinaal getal voorstelt, is een algebraïsche structuur $(A,+,\cdot ,-,0,1,c_{\kappa },d_{\kappa \lambda }{)}_{\kappa ,\lambda <\alpha }$ zodanig dat $(A,+,\cdot ,-,0,1)$ een booleaanse algebra vormt, $c_{\kappa }$ een unaire operatie op $A$ voorstelt voor alle $\kappa$ en $d_{\kappa \lambda }$ een verschillend element van $A$ voorstelt voor elke $\kappa$ en $\lambda$ zodanig dat de zeven volgende axioma's gelden:

(C1) $c_{\kappa }0=0$

(C2) $x\le c_{\kappa }x$

(C3) $c_{\kappa }(x\cdot c_{\kappa }y)=c_{\kappa }x\cdot c_{\kappa }y$

(C4) $c_{\kappa }{c}_{\lambda }x=c_{\lambda }{c}_{\kappa }x$

(C5) $d_{\kappa \kappa }=1$

(C6) Als $\kappa \ne \lambda \mu$, dan $d_{\lambda \mu }=c_{\kappa }(d_{\lambda \kappa }\cdot d_{\kappa \mu })$

(C7) Als $\kappa \ne \lambda$, dan $c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot x)\cdot c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot -x)=0$

De axioma's vallen als volgt te herschrijven:

(C1) $\mathrm{\exists }\kappa .𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒\iff 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒$

(C2) $x\Rightarrow \mathrm{\exists }\kappa .x$

(C3) $\mathrm{\exists }\kappa .(x\wedge \mathrm{\exists }\kappa .y)\iff (\mathrm{\exists }\kappa .x)\wedge (\mathrm{\exists }\kappa .y)$

(C4) $\mathrm{\exists }\kappa \mathrm{\exists }\lambda .x\iff \mathrm{\exists }\lambda \mathrm{\exists }\kappa .x$

(C5) $\kappa =\kappa \iff 𝑡𝑟𝑢𝑒$

(C6) Als $\kappa$ een veranderlijke voorstelt verschillend van $\lambda$ en $\mu$, dan $\lambda =\mu \iff \mathrm{\exists }\kappa .(\lambda =\kappa \wedge \kappa =\mu )$

(C7) Als $\kappa$ en $\lambda$ verschillende veranderlijken voorstellen, dan $\mathrm{\exists }\kappa .(\kappa =\lambda \wedge x)\wedge \mathrm{\exists }\kappa .(\kappa =\lambda \wedge \mathrm{\neg }x)\iff 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒$