Cas-functie

De cas-functie is een goniometrische functie die gebruikt wordt in de signaalanalyse, meer bepaald als kern van de Hartleytransformatie. Deze transformatie zet een reëel signaal om in een reële frequentie-afhankelijke functie, door een correlatie te berekenen met de cas-functie. De benaming cas is de afkorting van cosine and sine.

Definitie

De cas-functie (volle lijn) en zijn complement (stippellijn), beide gedurende één periode getekend.

De cas-functie is gedefinieerd als:

$\mathrm{cas}(\theta )=\cos (\theta )+\sin (\theta )$

De hoek $\theta$ ontstaat in de praktijk als het product van een hoeksnelheid $\omega$ met de tijdsveranderlijke $t$:

$\theta =\omega t$

De cas-functie is periodiek met periode $2\pi$.

Door gebruik te maken van de basisregels van de goniometrie kan men deze functie ook schrijven als een zuivere cosinus of een zuivere sinus:

$\mathrm{cas}(\theta )=\sqrt{2}\cos (\theta -\frac{1}{4}\pi )=\sqrt{2}\sin (\theta +\frac{1}{4}\pi )$

Het complement ${\mathrm{cas}}^{*}$ van de cas-functie is:

${\mathrm{cas}}^{*}(\theta )=\mathrm{cas}(-\theta )=\cos (\theta )-\sin (\theta )$

Deze functie is ook gelijk aan:

${\mathrm{cas}}^{*}(\theta )=\sqrt{2}\cos (\theta +\frac{1}{4}\pi )=-\sqrt{2}\sin (\theta -\frac{1}{4}\pi )$

Andere relaties met goniometrische functies

Som- en verschilformules:

$\mathrm{cas}(\alpha +\beta )=\cos (\alpha )\cdot \mathrm{cas}(\beta )+\sin (\alpha )\cdot {\mathrm{cas}}^{*}(\beta )$

$\mathrm{cas}(\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cdot {\mathrm{cas}}^{*}(\beta )+\sin (\alpha )\cdot \mathrm{cas}(\beta )$

Integraal en afgeleide

Afgeleide:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta }\mathrm{cas}(\theta )=\mathrm{cas}(-\theta )={\mathrm{cas}}^{*}(\theta )$

Integraal:

$\int \mathrm{cas}(\theta )\mathrm{d}t=-\mathrm{cas}(-\theta )=-{\mathrm{cas}}^{*}(\theta )$