C*-algebra

C*-algebra's (uitgesproken als "C-ster") vormen een belangrijk gebied van onderzoek in de functionaalanalyse, een deelgebied van de wiskunde.

Een C*-algebra is een Banach-algebra uitgerust met een involutie * zodanig dat voor iedere vector $a$ geldt dat $\Vert a{a}^{*}\Vert =\Vert a{\Vert }^2.$

Het prototypische voorbeeld van een C*-algebra is een complexe algebra A van lineaire operatoren op een complexe Hilbertruimte met twee extra eigenschappen:

• A is een topologisch gesloten verzameling in de normtopologie van de operatoren.
• A is gesloten onder de operatie van het nemen van toevoegingen van operatoren.

Definitie

In de context van een Banach-algebra $𝒜$ verstaat met onder involutie een afbeelding $*:𝒜\to 𝒜$ die niet alleen haar eigen inverse is (de gebruikelijke definitie van een involutie) maar die bovendien als volgt de structuur van de Banach-algebra respecteert:

1. $\mathrm{\forall }a,b\in 𝒜:(ab{)}^{*}=b^{*}{a}^{*}$
2. $\mathrm{\forall }a,b\in 𝒜,\mathrm{\forall }\lambda ,\mu \in ℂ:(\lambda a+\mu b{)}^{*}=\bar{\lambda }{a}^{*}+\bar{\mu }{b}^{*}$

Een C*-algebra is een Banach-algebra $𝒜$ uitgerust met een involutie $*$ die voldoet aan de normgelijkheid

$\mathrm{\forall }a\in 𝒜:\Vert a{a}^{*}\Vert ={\Vert a\Vert }^2.$

Voorbeelden

Vierkante matrices

In de complexe Euclidische vectorruimte ${ℂ}^n$ wordt de norm van een vector $a=(a_1,\dots ,a_n)$ gegeven door

$\Vert a\Vert =\sqrt{|a_1{|}^2+\cdots +|a_n{|}^2}$

De complexe vectorruimte ${ℳ}^{n\times n}(ℂ)$ der vierkante complexe $n\times n$-matrices kan worden opgevat als een algebra van lineaire transformaties van ${ℂ}^n.$ Ze wordt een Banach-algebra door de norm van een matrix te definiëren als

$\Vert M\Vert =\underset{a\in {ℂ}^n,\Vert a\Vert =1}{\sup }\Vert Ma\Vert$

De operatie $*$ die een matrix omvormt in zijn complex toegevoegde getransponeerde

$M^{*}={}^{\tau }\bar{M}$

is een involutie die aan de voorwaarden van een C*-algebra voldoet.

Complexe getallen

Als bijzonder geval hiervan is $ℂ$ zelf een complexe Banach-algebra, die met de operatie 'toegevoegd complex getal' een C*-algebra wordt.

Hilbertruimte-operatoren

Algemener vormt de Banach-algebra $B(H)$ der continue lineaire transformaties van een Hilbertruimte $H$ een C*-algebra voor de involutie die elke operator $A$ omvormt in zijn toegevoegde operator $A^{*}$: dit is de unieke afbeelding $A\to A^{*}$ die voldoet aan

$\mathrm{\forall }x,y\in H:(Ax,y)=(x,A^{*}y)$

Continue functies

Als $X$ een compacte topologische ruimte is, dan is de vectorruimte $C(X)$ der complexwaardige continue functies op $X$ een Banach-algebra voor de puntsgewijze vermenigvuldiging van functies en voor de maximumnorm

$\Vert f\Vert =\underset{x\in X}{\max }|f(x)|$

De bewerking die met elke functie haar complex toegevoegde functie associeert, maakt van $C(X)$ een (commutatieve) C*-algebra.

Deelalgebra

Een gesloten Banach-deelalgebra van een gegeven C*-algebra die bovendien stabiel blijft onder de involutie, is opnieuw een C*-algebra. In combinatie met het hogergenoemde voorbeeld $B(H)$ levert dit het typische voorbeeld uit de inleidende paragraaf.

Tegenvoorbeeld

De ruimte ${ℳ}^{n\times n}(ℂ)$ hierboven, met dezelfde involutie (complex toegevoegde van de getransponeerde matrix) is niet noodzakelijk een C*-algebra als met een andere norm wordt gewerkt, bijvoorbeeld de norm die met een matrix de grootste absolute waarde van een van zijn matrixelementen associeert.