Autoregressief model

Het autoregressieve (AR) model is een model uit de tijdreeksanalyse dat wordt gebruikt om bepaalde voorspellingen te doen.

Definitie

Het autoregressieve model van de orde $p,$ genoteerd als $\mathrm{A}\mathrm{R}(p),$ is gedefinieerd als

$X_t=c+\sum _{i=1}^p{\phi }_i{X}_{t-i}+{\epsilon }_t$,

waarin ${\phi }_1,\dots ,{\phi }_p$ de parameters van het model zijn, $c$ een constante is en ${\epsilon }_t$ witte ruis is. De constante term wordt vaak weggelaten.

Aannames

1. $\mathrm{E}({\epsilon }_t)=0$
2. $\mathrm{E}({\epsilon }_t^2)={\sigma }^2$
3. $\mathrm{E}({\epsilon }_t{\epsilon }_s)=0$ voor alle $t\ne s$

Voorbeeld

Een $\mathrm{A}\mathrm{R}(1)$-proces is gegeven door:

$X_t=c+\phi X_{t-1}+{\epsilon }_t$

waarin ${\epsilon }_t$ aan de aannames voldoet. Daardoor is de verwachtingswaarde $\mathrm{E}(X_t)$ dezelfde voor alle waarden van $t,$ indien $|\phi |<1.$. De verwachtingswaarde $\mu$ is gelijk aan

$\mathrm{E}(X_t)=\mathrm{E}(c)+\phi \mathrm{E}(X_{t-1})+\mathrm{E}({\epsilon }_t)\Rightarrow \mu =c+\phi \mu +0$

Dus

$\mu =\frac{c}{1-\phi }$

In het bijzonder is, als $c=0$, de verwachtingswaarde gelijk aan 0.

De variantie is

$\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X_t)=\mathrm{E}(X_t^2)-{\mu }^2=\frac{{\sigma }_{\epsilon }^2}{1-{\phi }^2}$,

waarin ${\sigma }_{\epsilon }$ de standaardafwijking van ${\epsilon }_t$ is.

Dit kan men zien doordat $\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X_t)={\phi }^2\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}(X_{t-1})+{\sigma }^2.$