Asymptotisch rake schatter

$\{T_1,T_2,\dots \}$ is een rij asymptotisch rake schatters voor de parameter $\theta =4$. De verdelingen van de schatters concentreren zich met toenemende steekproefomvang $n$ steeds meer rond de parameter $\theta$. Wel zijn de schatters onzuiver.

In de statistiek heet een schatter asymptotisch raak (Engels: consistent) als de schatter met toenemende steekproefomvang in kans convergeert naar de te schatten parameter.

Definitie

Zij $(X_i)$ een aselecte steekproef van de stochastische variabele $X$ waarvan de verdelingsfunctie $F_X$ afhangt van de parameter $\theta$. De schatter $T_n=t_n(X_1,\dots ,X_n)$ heet asymptotisch raak als $T_n$ in kans convergeert naar $\theta$, dus als voor alle $\epsilon >0$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(|T_n-\theta |>\epsilon )=0$

Men noteert wel:

$T_n\stackrel{P}{\to }\theta$

Voorbeeld

Het steekproefgemiddelde

${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}(X_1+\dots +X_n)$

van een aselecte steekproef $X_1,\dots ,X_n$ uit een normale verdeling met parameters $\mu$ en ${\sigma }^2$ is een asymptotisch rake schatter voor $\mu$. De schatter ${\bar{X}}_n$ is ook normaal verdeeld, maar met parameters $\mu$ en ${\sigma }^2/n$. Dus is

$Z_n=\sqrt{n}\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma }$

standaardnormaal verdeeld.

Voor elke $\epsilon >0$ geldt dus:

$P(|{\bar{X}}_n-\mu |>\epsilon )=P(|Z_n|>\sqrt{n}\frac{\epsilon }{\sigma })\to 0$ voor $n\to \mathrm{\infty }$

De meest aannemelijke schatter $\widehat{{\sigma }_n^2}$ voor de variantie in de normale verdeling, gedefinieerd door:

$\widehat{{\sigma }_n^2}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$

is niet zuiver, maar wel asymptotisch raak.