Arcsinus

De arcsinus, ook boogsinus, aangeduid door $\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n},\arcsin ,\mathrm{b}\mathrm{g}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}$ of ${\sin }^{-1}$, is een cyclometrische functie in de wiskunde die de inverse functie is van de sinus indien het domein daarvan beperkt wordt tot het interval $[-\pi /2,\pi /2]$. Deze beperking is nodig vanwege het periodieke karakter van de sinus. Het resultaat van de arcsinus is de hoek tussen $-\pi /2$ en $\pi /2$ waarvan de sinus het argument als waarde heeft. Het domein is $[-1,1]$ en het bereik is $[-\pi /2,\pi /2]$.

De grafiek van $y=\arcsin x$ is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte sinus ten opzichte van de lijn $y=x$.

Definitie

De functie $\arcsin$ is gedefinieerd voor $x\in [-1,1]$ door de relatie

$\arcsin (x)=\alpha ⟺\alpha \in [-\frac{1}{2}\pi ,\frac{1}{2}\pi ]\text{ en }\sin (\alpha )=x$

In woorden: de hoek of boog waarvan de sinus $x$ is, is gelijk aan $\alpha$.

Machtreeks

De arcsinus heeft de reeksontwikkeling:

$\arcsin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi }(2n+1)n!}{x}^{2n}$

Daarin is $\mathrm{\Gamma }$ de gammafunctie.

Afgeleide

De afgeleide van de arcsinus is:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin (x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

voor $x\in (-1,1)$.