Arccosinus

De arccosinus, ook boogcosinus, aangeduid door $\mathrm{a}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s},\arccos ,\mathrm{b}\mathrm{g}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}$ of ${\cos }^{-1}$, is een cyclometrische functie in de wiskunde die de inverse functie is van de cosinus. Het bereik wordt beperkt tot het interval $[0,\pi ]$, wat nodig is vanwege het periodieke karakter van de sinus. Het resultaat van de arcsinus is de hoek tussen $-\pi /2$ en $\pi /2$ waarvan de sinus het argument als waarde heeft. Het domein is [-1,1] en het bereik is $[0,\pi ]$.

De grafiek van $y=\arccos x$ is het spiegelbeeld van de grafiek van de beperkte cosinus ten opzichte van de rechte $y=x$.

Definitie

De functie $\arccos$ is gedefinieerd voor $x\in [-1,1]$ door de relatie

$\arccos (x)=\alpha ⟺\alpha \in [0,\pi ]\text{ en }\cos (\alpha )=x$

In woorden: de hoek of boog waarvan de cosinus $x$ is, is gelijk aan $\alpha$.

Vanwege de relatie tussen de sinus en de cosinus geldt:

$\arccos (x)+\arcsin (x)=\frac{1}{2}\pi$

Machtreeks

De arccosinus heeft de reeksontwikkeling:

$\arccos (x)=\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{\Gamma }(n+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi }(2n+1)n!}{x}^{2n+1}$

Daarin is $\mathrm{\Gamma }$ de gammafunctie.

Afgeleide

De afgeleide van de arccosinus is:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos (x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

voor $x\in (-1,1)$