Achthoek

In de wiskunde is een achthoek (Gr. octagon) een veelhoek met acht zijden en acht hoeken.

De som van alle (binnen)hoeken ${\alpha }_k$ van een achthoek bedraagt 1080°, zoals volgt uit de formule voor de som van de hoeken in een veelhoek. Voor $n=8$ wordt dit::

$\sum _{k=1}^n{\alpha }_k=(n-2)\cdot 180^{\circ }=6\times 180^{\circ }=1080^{\circ }$

Verschillende soorten achthoeken

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding:	Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding:	Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding:	Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding:
regelmatige achthoek	onregelmatig achthoek	concave achthoek	complexe achthoek

Regelmatige achthoek

Van een regelmatige achthoek zijn alle zijden gelijk en zijn alle binnenhoeken gelijk aan 135°. Er geldt immers voor elke hoek $\alpha$:

$\alpha =\frac{n-2}{n}\cdot 180^{\circ }=\frac{3}{4}\cdot 180^{\circ }=135^{\circ }$

Voor de oppervlakte van een regelmatige achthoek met een zijde van lengte $a$ geldt:

$A=2a^2\cot \frac{\pi }{8}=2(1+\sqrt{2})a^2\simeq 4,82843a^2$

De lengte $a$ kan als volgt worden afgeleid van de diameter $D$:

$a\cdot \cos 45^{\circ }+a+a\cdot \cos 45^{\circ }=D$

$a\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}+a+a\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}=D$

$a\cdot (\sqrt{2}+1)=D\Rightarrow a=\frac{D}{(\sqrt{2}+1)}\Rightarrow a\simeq \frac{D}{2,41421}$

Constructie

De constructie van een regelmatige achthoek gaat met behulp van een liniaal en een passer, in 18 stappen:

Fout bij het aanmaken van de miniatuurafbeelding:

Zie ook

• Verhouding tussen oppervlak en omtrek bij regelmatige veelhoeken
• Octagon Museum, een historisch gebouw en klein museum op Curaçao